حاسبة مركز الثقل

يختلف معنى «مركز الثقل» قليلًا بحسب ما تبدأ منه. وتتعامل هذه الحاسبة مع الحالات الثلاث الشائعة.

المثلث

مركز ثقل المثلث هو متوسط رؤوسه الثلاثة، وهو النقطة التي تتقاطع عندها المتوسطات الثلاثة. وللرؤوس (x1, y1) و(x2, y2) و(x3, y3):

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 وCy = (y1 + y2 + y3) / 3

يقع مركز الثقل على بعد الثلث من الضلع على كل متوسط. أما المساحة فهي نصف القيمة المطلقة للضرب الاتجاهي لضلعين.

مجموعة نقاط

في مجموعة النقاط العادية يكون مركز الثقل هو متوسط قيم x ومتوسط قيم y. وبما أنه لا يوجد محيط، فلا تُعرض مساحة. هذه هي الفكرة نفسها في متوسط سحابة البيانات أو مركز كتل نقطية متساوية.

المضلع (صيغة رباط الحذاء)

مركز ثقل المضلع ليس متوسط رؤوسه ما لم يكن مثلثًا. تمرّ الحاسبة على الأضلاع بصيغة رباط الحذاء (shoelace). وإذا كانت A المساحة الموجَّهة، A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi)، فإن مركز الثقل هو:

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

تتوقف إشارة A على اتجاه ترتيب الرؤوس، لكن مركز الثقل والمساحة المعروضة لا يتأثران. وتُعرض المساحة دائمًا عددًا موجبًا.

أمثلة محلولة

ما المدخلات الصالحة

• يحتوي كل سطر على رقمين بالضبط. تصلح الفواصل والفواصل المنقوطة والمسافات والعلامات الجدولية جميعها فواصل بين الرقمين، وتُهمَل الأقواس حول النقطة.
• يحتاج المضلع إلى ثلاثة رؤوس مختلفة على الأقل. يمكنك تكرار الرأس الأول في النهاية، وسيُحذف تلقائيًا.
• يجب ألا يتقاطع المحيط مع نفسه أو يلمس نفسه. الشكل الذي يشبه ربطة العنق أو الرقم 8 ليس مضلعًا بسيطًا، وتنبّهك الحاسبة إلى ذلك بدل أن تعطيك رقمًا مضلِّلًا.
• النقاط الواقعة كلها على خط مستقيم واحد لا تحيط بأي مساحة، ولذلك لا يوجد مركز ثقل يمكن عرضه لمثلث أو مضلع.
• حتى 200 نقطة، وتصل قيم الإحداثيات حتى مليار. تُقرَّب النتائج إلى ست منازل عشرية.

نصائح

• قد يقع مركز ثقل مضلع مقعّر خارج الشكل، كما في حرف U أو C الرفيع. ويوضح الرسم ذلك جيدًا.
• إذا بدا مركز الثقل خاطئًا فراجع ترتيب الرؤوس. فكتابة الزوايا بشكل متعرج بدل ترتيبها على امتداد الحافة تجعل المحيط يتقاطع مع نفسه.
• لا تهم الوحدات في مركز الثقل: فهو يخرج بالوحدة نفسها التي استخدمتها في إحداثياتك. أما المساحة فبتلك الوحدة مربعة.