حلّ مسألة المعيّن

كل معيّن يخضع لقاعدتين: a + b = المجموع وa × b = حاصل الضرب. والقيمتان المعلومتان هما اللتان تحددان الطريقة.

حاصل الضرب والمجموع: الحالة الأصعب

حين يكون المعلوم حاصل الضرب والمجموع فقط، فإن a وb هما جذرا المعادلة التربيعية x² − (المجموع)x + حاصل الضرب = 0. ويبيّن المميّز المجموع² − 4 × حاصل الضرب ما سيحدث:

• موجب ومربع كامل (7² − 4 × 12 = 1): جوابان صحيحان، هما هنا 3 و4.
• موجب لكنه ليس مربعاً كاملاً (3² − 4 × 1 = 5): جوابان حقيقيان غير صحيحين، هما هنا نحو 0.382 و2.618. وفي وضع الأعداد الصحيحة يخبرك الحاسب بأنه لا يوجد عددان صحيحان مناسبان.
• صفر (2² − 4 × 1 = 0): جذر مضاعف، أي العددان متساويان (1 و1).
• سالب (2² − 4 × 10 = −36): لا يوجد زوج حقيقي. العددان زوج مركّب مترافق، هنا 1 + 3i و1 − 3i، ويذكر الحاسب ذلك بدل أن يفشل.

أمثلة محلولة

• حاصل الضرب 12 والمجموع 7: a = 3 وb = 4.
• حاصل الضرب −12 والمجموع 1: a = −3 وb = 4.
• a = 4 وحاصل الضرب −20: b = −5 والمجموع −1.
• حاصل الضرب 6 والمجموع 5 في وضع الأعداد الصحيحة: a = 2 وb = 3.

استخدام المعيّن في التحليل إلى عوامل

للمقدار x² + 7x + 12 ضع 12 (الحد الثابت مضروباً في معامل الحد الأول) في الأعلى و7 في الأسفل. القيمتان على اليمين واليسار، 3 و4، تعطيان العاملين (x + 3)(x + 4). وإذا لم يكن معامل الحد الأول 1، فضع في الأعلى حاصل ضرب معامل الحد الأول في الحد الثابت، ثم استخدم العددين لتجزئة الحد الأوسط.