Softonic

حاسبة غرام-شميت

خطوة 1 / 3 حاسبة غرام-شميت

أدخل من 2 إلى 4 متجهات، في كل منها من 2 إلى 4 أعداد مفصولة بفواصل. يجب أن يكون عدد المركبات واحدًا في كل المتجهات. استخدم النقطة للكسور العشرية.

التالي

تحوّل عملية غرام-شميت قائمة من المتجهات إلى قائمة متجهات متعامدة تولّد الفضاء نفسه. أدخل من 2 إلى 4 متجهات، في كل منها من 2 إلى 4 أعداد، واختر متعامدة أو متعامدة منظَّمة، فتعرض الحاسبة كل معامل إسقاط، والمتجه u_k المبني منه، وطوله، ومتجه الوحدة e_k. الحساب دقيق بالكسور، لذلك يُبلَّغ عن المتجه الذي لا يضيف اتجاهًا جديدًا على أنه مرتبط خطيًا بدل أن يضيع في التقريب.

كيفية استخدام حاسبة غرام-شميت

  1. 1

    اكتب متجهاتك

    اكتب متجهًا واحدًا في كل سطر مع فصل مركّباته بفواصل، مثل 1, 1, 0. استخدم من 2 إلى 4 متجهات لها جميعًا العدد نفسه من المركّبات (من 2 إلى 4). استخدم النقطة للكسور العشرية، حتى أربع خانات عشرية.

  2. 2

    اختر النتيجة

    اختر المتجهات المتعامدة المنظَّمة (طول الوحدة، بالأعداد العشرية) أو المتجهات المتعامدة (بالأعداد العشرية مع الكسور الدقيقة عندما تكون قصيرة بما يكفي).

  3. 3

    اقرأ الخطوات

    تعرض صفحة النتيجة الأساس أولًا، ثم كل خطوة: معاملات الإسقاط، وu_k، ومربع طوله وطوله، وe_k. ويُوسَم المتجه المتخطَّى بأنه مرتبط خطيًا.

كيف تعمل عملية غرام-شميت

إذا أُعطيت المتجهات v_1, v_2, …, v_n، تبني العملية المتجهات المتعامدة u_1, u_2, … واحدًا تلو الآخر:

  • u_1 = v_1
  • u_k = v_k - c_k1 u_1 - c_k2 u_2 - ... - c_k,k-1 u_k-1
  • كل معامل إسقاط هو c_kj = (v_k · u_j) / (u_j · u_j)

طرح الإسقاط يزيل من v_k كل ما يشير في اتجاه u_j السابقة، فيصبح u_k عموديًا عليها جميعًا. وقسمة كل u_k على طوله |u_k| = √(u_k · u_k) تعطي المتجه المتعامد المنظَّم e_k الذي طوله 1.

مثال محلول

لنأخذ v_1 = (1, 1, 0) وv_2 = (1, 0, 1) وv_3 = (0, 1, 1).

الخطوة الحساب النتيجة
u_1 v_1 (1, 1, 0)
c_21 (v_2 · u_1) / (u_1 · u_1) = 1/2 1/2
u_2 v_2 - 1/2 u_1 (1/2, -1/2, 1)
c_31, c_32 1/2 و1/3 1/2, 1/3
u_3 v_3 - 1/2 u_1 - 1/3 u_2 (-2/3, 2/3, 2/3)

المتجهات المتعامدة المنظَّمة هي e_1 ≈ (0.7071, 0.7071, 0) وe_2 ≈ (0.4082, -0.4082, 0.8165) وe_3 ≈ (-0.5774, 0.5774, 0.5774).

الارتباط الخطي

إذا كان v_k واقعًا أصلًا في الفضاء المولَّد بالمتجهات السابقة، فإن طرح إسقاطاته يترك المتجه الصفري. تكشف الحاسبة ذلك بدقة، لأن كل عدد يُعالَج ككسر، ولا تُستخدم أي نسبة تسامح. يُوسَم هذا المتجه بأنه مرتبط ويُتخطّى، وتُعامَد المتجهات التالية على المتجهات المستقلة التي وُجدت حتى الآن. وعندما يزيد عدد المتجهات على عدد الأبعاد (ثلاثة متجهات في المستوى مثلًا) يوجد دائمًا متجه واحد على الأقل مرتبط خطيًا.

ما تغطيه هذه الحاسبة

  • من 2 إلى 4 متجهات، في كل منها من 2 إلى 4 مركّبات بالطول نفسه، بقيم مطلقة حتى 1,000,000 وحتى أربع خانات عشرية.
  • تُعرض المتجهات المتعامدة بالأعداد العشرية وبكسور دقيقة عندما يكون الكسر قصيرًا؛ أما متجهات الوحدة فتُعرض بالأعداد العشرية لأنها تحتاج إلى جذر تربيعي.
  • تعمل بالجداء النقطي المعتاد على الأعداد الحقيقية. ولا تتعامل مع المتجهات العقدية أو الجداءات الداخلية الأخرى أو الأحجام الأكبر.

الأسئلة الشائعة

المتجهات المتعامدة عمودية بعضها على بعض، فالجداء النقطي لكل زوج منها يساوي 0. أما المتجهات المتعامدة المنظَّمة فهي متعامدة وطول كل منها 1 أيضًا. تحصل على المجموعة المنظَّمة بقسمة كل متجه متعامد u_k على طوله.

تضع الحاسبة علامة على المتجه المرتبط، وتشرح أن باقيه u_k هو المتجه الصفري، ثم تتخطاه. وتُعامَد المتجهات التي بعده على المتجهات المستقلة التي وُجدت. كما تخبرك صفحة النتيجة بعدد متجهاتك التي تضيف اتجاهًا جديدًا.

نعم. تحتفظ عملية غرام-شميت باتجاه المتجه الأول وتعدّل الباقي بالنسبة إليه، لذلك يعطي الترتيب المختلف مجموعة متعامدة مختلفة. لكن كل مجموعة تولّد الفضاء نفسه.

تُحوَّل المدخلات إلى كسور دقيقة وتُحسب الإسقاطات دون تقريب، ولهذا يُكشف الارتباط الخطي بموثوقية. تُعرض المتجهات المتعامدة بكسور دقيقة عندما تكون قصيرة بما يكفي لتُقرأ. أما متجهات الوحدة فتحتاج إلى جذر تربيعي، لذا تظهر أعدادًا عشرية مقرَّبة إلى أربع خانات.

تُرسَل المتجهات التي تكتبها إلى الخادم لحساب النتيجة، وتُضاف إلى رابط الصفحة أثناء تنقلك بين الخطوات، فيمكن حفظ الحساب في المفضلة أو مشاركته. ولا تُحفظ في أي حساب أو ملف شخصي.

أدوات ذات صلة

حاسبة الوقت قبل ساعات

حدد التاريخ والوقت الدقيقين اللذين كانا قبل عدد معين من الساعات من الآن.

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

حاسبة الوقت بعد ساعات من الآن

اعرف الوقت واليوم والتاريخ بدقة بعد عدد محدد من الساعات من الآن، بحسب منطقتك الزمنية، مع اللحظة نفسها بتوقيت UTC.

حاسبة توافق الأسماء

اكتب اسمين وشاهد كيف تتوافق أرقامهما في علم الأعداد: رقم التعبير ورقم رغبة الروح لكل اسم، مع كل خطوة من الحساب. اكتب الأسماء العربية بالحروف اللاتينية. للتسلية فقط.

حاسبة علم أعداد الأسماء

احسب رقم القدر ورقم التعبير من اسمك الكامل وفق نظام فيثاغورس في علم الأعداد، مع قراءة موجزة للشخصية.

حاسبة الطالع

احسب برجك الطالع ودرجته من تاريخ ميلادك ووقته ومكانه، مع المناطق الزمنية التاريخية والتوقيت الصيفي. لا تعرف وقت ميلادك؟ اطّلع على اليوم كله.

الأداة متاحة بلغات أخرى