Softonic

حاسبة النهايات

خطوة 1 / 3 قيمة الحد
التالي

نهاية دالة f(x) عند اقتراب x من النقطة a تصف القيمة التي تستقر عندها f(x)، سواء أكانت f(a) نفسها موجودة أم لا. تقيّم هذه الحاسبة النهايات عدديا ورمزيا لكثيرات الحدود والدوال النسبية والمثلثية والأسية واللوغاريتمات، بما في ذلك النقاط عند ±∞، وتخبرك متى لا توجد النهاية من الجهتين لأن القيمتين اليسرى واليمنى متباينتان.

كيف تحسب نهاية

  1. 1

    اختر عائلة دالة

    كثيرة حدود أو نسبية أو مثلثية (جا/جتا/ظا) أو أسية أو لوغاريتمية أو مزيج.

  2. 2

    أدخل نقطة النهاية a

    عدد حقيقي، أو استخدم ∞ / -∞ للنهايات عند الأطراف.

  3. 3

    اختر اتجاها

    من جهتين (كلاهما)، يسار (a⁻) أو يمين (a⁺).

  4. 4

    اقرأ النتيجة العددية

    إذا تباين اليسار واليمين، فالنهاية من الجهتين غير موجودة.

متى تتصرف النهايات بشكل جيد ومتى لا تفعل

تعتمد معظم مسائل التفاضل والتكامل للسنة الأولى على ثلاث تقنيات: التعويض المباشر، والتبسيط الجبري، وقاعدة لوبيتال. تطبّق الحاسبة هذه التقنيات بهذا الترتيب وتعود إلى تقدير عددي عندما تفشل المعالجة الرمزية.

نتائج كلاسيكية تستحق الحفظ

النهاية القيمة
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (كثيرة حدود)/eˣ 0

متى تفشل النهاية من الجهتين

ثلاثة أنماط تسبّب “غير موجودة”:

  • انقطاع قفزي. f(x) = sign(x) عند x = 0: يسار → -1، يمين → +1.
  • خط تقارب رأسي بإشارتين متعاكستين. f(x) = 1/x عند x = 0: يسار → -∞، يمين → +∞.
  • تذبذب. f(x) = sin(1/x) عند x = 0: تتذبذب القيم بين -1 و 1 على نحو قريب اعتباطيا من النقطة.

قد توجد النهايات من جهة واحدة حيث لا توجد النهايات من الجهتين. تبلّغ الحاسبة عن كل جهة على حدة حتى ترى التباعد.

قاعدة لوبيتال: استخدمها بحذر

عندما يعطي التعويض 0/0 أو ∞/∞، فإن اشتقاق البسط والمقام منفصلين غالبا ما يحلّها. لكن القاعدة تتطلب:

  • يجب أن تكون كلتا النهايتين (للبسط والمقام) فعلا 0 أو كلاهما ∞.
  • يجب أن تكون نسبة المشتقتين نفسها لها نهاية.
  • يجب أن تكون الدوال قابلة للاشتقاق قرب النقطة.

تطبيق لوبيتال خطأ على صورة غير غير معيّنة يعطي إجابات خاطئة. أكّد الصورة أولا دائما.

عددي مقابل رمزي

تستخدم الحاسبة الحساب الدقيق للصور الجبرية البسيطة (كثيرات الحدود، النسبية). للتعبيرات المتسامية تقيّم الدالة عند متتالية من النقاط تقترب من a وتبلّغ القيمة المتقاربة إلى 8 منازل عشرية. إذا فشلت المتتالية في التقارب، تُوضع علامة على النتيجة كغير معيّنة.

الأسئلة الشائعة

القيمة التي تقترب منها f(x) عندما يأتي x من جهة واحدة فقط من a. اليسرى (x → a⁻) تستخدم قيما أقل من a؛ اليمنى (x → a⁺) تستخدم قيما أعلى. توجد النهاية من الجهتين فقط عندما تتطابق الجهتان.

نعم، أدخل ∞ أو -∞ كنقطة نهاية. للدوال النسبية تقارن الدرجات؛ للأسية واللوغاريتمات تستخدم الترتيبات المقاربية القياسية.

لا تستقر الدالة على قيمة منتهية واحدة عند اقتراب x من النقطة. قد يحدث هذا لأن القيم تؤول إلى اللانهاية، أو لأن اليسار واليمين متباينان، أو لأن القيم تتذبذب دون تقارب.

لا. تُحلَّل التعبيرات التي تدخلها وتُقيّم في متصفحك ولا يُرسل شيء إلى أي مكان.

أدوات ذات صلة

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI

احسب مؤشر كتلة الجسم من الطول والوزن. يعرض التصنيف حسب منظمة الصحة العالمية، ونطاق الوزن الصحي، وحدود استخدام BMI.

حاسبة الأيام المتبقية في السنة

احسب الأيام التقويمية من أي تاريخ مرجعي حتى 31 ديسمبر، واختر تضمين تاريخ البداية أو استبعاده، واعرف الأسابيع الكاملة وتقدم السنة.

حاسبة سعة سخان المياه

احسب سعة سخان المياه ذي الخزان بحسب تصنيف الساعة الأولى، أو قدّر تدفق السخان الفوري والحمل الحراري من الطلب المتزامن وفرق الحرارة.

حاسبة طول السير

احسب طول السير المفتوح المرجعي الدقيق عند خط الخطوة أو القطر المرجعي أو الفعّال من قطري البكرتين والمسافة بين المحورين.

حاسبة نقاط الدارت

طبِّق جولة دارت واحدة على نتيجة 301 أو 501. تحقق من النقاط المتبقية وإنهاءات الدبل وحالات التجاوز دون الاحتفاظ بسجل للمباراة.

الأداة متاحة بلغات أخرى