حاسبة المصفوفات

العمليات وقواعد أبعادها

لماذا ضرب المصفوفات ليس تبادليًا

بالنسبة للمصفوفتين العامتين A و B، فإن AB ≠ BA حتى عندما يكون كلا الحاصلين معرّفًا. كل عنصر في AB هو الجداء النقطي لصف من A مع عمود من B؛ وعكس الترتيب يأخذ الجداء النقطي لصفوف وأعمدة مختلفة. أما المصفوفات التبادلية فهي حالة استثنائية (مضاعفات مصفوفة الوحدة، والمصفوفات القطرية ذات العناصر المتمايزة، وبعض عمليات الدوران التي تشترك في محور واحد).

اختبار سريع للقابلية للعكس

• تكون المصفوفة المربعة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان det(A) ≠ 0.
• قابلة للعكس ⇔ رتبة كاملة ⇔ الأعمدة مستقلة خطيًا ⇔ فضاء العدم تافه.
• بالنسبة إلى 2×2: A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]].
• بالنسبة للمصفوفات الأكبر، تستخدم الآلة الحاسبة طريقة حذف غاوس-جوردان (إضافة المصفوفة I، ثم اختزال الصفوف إلى الشكل [I | A⁻¹]).

مزالق شائعة

• عدم تطابق الأبعاد. أكثر الأخطاء شيوعًا. تكشف الآلة الحاسبة هذه الحالات مبكرًا وتوضح بدقة أي الأبعاد لا تتطابق.
• التقريب في المصفوفة العكسية. تراكم الحساب بالدقة المزدوجة أخطاءً صغيرة. المصفوفة شبه الشاذة (محدِّدها قريب من الصفر) تنتج عكسية غير دقيقة إلى حد كبير. تحقق من عدد الشرط إذا كانت الدقة مهمة.
• الكسور غير الصحيحة. أدخِل 1/3 فتحافظ الآلة الحاسبة على القيمة الدقيقة حيثما أمكن؛ وتنتقل إلى الأعداد العشرية العائمة بمجرد أن تُدخِل العملية أعدادًا غير نسبية.

استخدامات خارج الواجبات المنزلية

• الرسوميات الحاسوبية: مصفوفات تحويل 4×4 للإزاحة والدوران وتغيير المقياس في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
• الفيزياء: موترات الإجهاد والقصور الذاتي.
• تعلّم الآلة: مصفوفات الأوزان في الطبقات الكثيفة؛ مصفوفات التباين المشترك؛ تحليل المكوّنات الرئيسية (PCA).
• الشبكات ونماذج ماركوف: مصفوفات الانتقال وقواها.
• الاقتصاد: نماذج المدخلات والمخرجات (ليونتيف).