حاسبة باقي القسمة (Modulo)

اصطلاحان للأعداد السالبة

مع المعاملات الموجبة تتفق كل الاصطلاحات: 17 mod 5 = 2. أما مع الأعداد السالبة فتختلف اللغات:

القسمة بالتقريب للأسفل: يُقرَّب ناتج القسمة نحو −∞. ويحمل الباقي دائمًا إشارة المقسوم عليه: الإشارة نفسها لـ b. القسمة بالبتر: يُقرَّب ناتج القسمة نحو الصفر. ويحمل الباقي إشارة المقسوم: الإشارة نفسها لـ a.

عندما a = -17 وb = 5:

• البتر: q = -3 (تقريب نحو 0)، r = -17 − (-3)·5 = -2.
• التقريب للأسفل: q = -4 (تقريب نحو -∞)، r = -17 − (-4)·5 = 3.

كلاهما صحيح وفق اصطلاحه. اختر ما يوافق لغتك.

أين تظهر عملية باقي القسمة

• الوقت. الدقائق في الساعة، وأيام الأسبوع، والثواني في اليوم، كلها حساب بالباقي.
• جداول التجزئة. تختار hash(key) mod table_size الحاوية المناسبة.
• الجدولة الدورية (round-robin). توزّع task_i mod worker_count المهام.
• التشفير. تُبنى خوارزميتا RSA وDiffie-Hellman على باقي القسمة على n بأعداد أولية ضخمة.
• كل صف رقم N. في SQL: WHERE id % 3 = 0.
• فحص الزوجي/الفردي. n mod 2 == 0 يعني عددًا زوجيًا.
• الأنماط المتناوبة. تخطيط الصفوف، وتلوين كل عنصر بالتناوب.
• المخازن الدائرية. تلتفّ (index + 1) mod size حول الحدود.

متطابقات مفيدة

• (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
• (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
• يمكن حساب (a^k) mod n بالرفع الأُسّي المعياري السريع في زمن O(log k)، وهو أساسي لتشفير الأعداد الكبيرة.
• a mod 1 = 0 لأي عدد صحيح a.
• a mod a = 0.

باقي القسمة العشري

للأعداد الحقيقية، التعريف الطبيعي هو a mod b = a − b · floor(a/b). فـ 7.5 mod 2.5 = 0 لأن 7.5 مضاعف تام، و7.6 mod 2.5 = 0.1.

يعمل المعامل % في JavaScript على الأعداد الحقيقية؛ ويؤدي fmod في Python باقيًا حقيقيًا بالبتر؛ بينما يؤدي % في Python باقيًا حقيقيًا بالتقريب للأسفل.

أمثلة محلولة

• 100 mod 7: 100 = 14·7 + 2، فالباقي 2.
• 25 mod 4: 25 = 6·4 + 1، فالباقي 1.
• -10 mod 3 (تقريب للأسفل): -10 = -4·3 + 2، الباقي 2. (بالبتر يكون -1.)
• 17.5 mod 5: 17.5 = 3·5 + 2.5، الباقي 2.5.