حاسبة الصورة السلمية المختزلة للصفوف (RREF)

ما المقصود بالصورة السلمية المختزلة للصفوف؟

تكون المصفوفة في الصورة السلمية المختزلة للصفوف عندما يبدأ كل صف غير صفري بعنصر قائد قيمته 1، ويقع كل عنصر قائد إلى يمين العنصر القائد في الصف الذي يعلوه، وتكون جميع العناصر الأخرى في عمود المحور صفراً، وتأتي الصفوف الصفرية كلها في الأسفل. وتُسمى العناصر القائدة التي تساوي 1 محاور.

تعرض RREF البنية العددية للمصفوفة بصورة موحدة. تحدد الأعمدة المحورية مواضع المحاور، بينما تكون الأعمدة الباقية حرة. الرتبة هي عدد المحاور. وإذا كان للمصفوفة n من الأعمدة، فإن بُعد النواة المعروض هنا يساوي n ناقص الرتبة، ويساوي أيضاً عدد الأعمدة الحرة.

تبدأ هذه الأداة ترقيم الأعمدة من 1. فإذا أظهرت أن العمودين المحوريين هما 1 و3، فالمقصود أول وثالث عمود في المصفوفة المدخلة.

عمليات الصفوف المعروضة

تستخدم الحاسبة الأنواع الثلاثة القياسية من العمليات الصفية الأولية:

• تبديل صفين.
• ضرب صف في عدد غير صفري.
• استبدال صف بنفسه مطروحاً منه مضاعف صف آخر.

تختار الحاسبة، لكل عمود محوري، الصف المتبقي الذي يضم أكبر مرشح للمحور من حيث القيمة المطلقة. تمثل هذه الخطوة، المسماة الارتكاز الجزئي، إجراءً وقائياً عددياً لأنها تتجنب القسمة على قيمة أصغر مع توافر قيمة أكبر. يُنقل الصف المختار إلى موضعه، ويُضبط محوره إلى 1، ثم تُصفّر العناصر التي تعلو المحور وتحته. وتظهر لقطة للمصفوفة بعد كل عملية في قائمة العمليات الصفية الأولية.

قد تختلف تسلسلات العمليات الصحيحة أثناء الحل. أما الصورة السلمية المختزلة النهائية فتكون نفسها، باستثناء آثار طفيفة قد تنتج عن دقة الحساب المحدودة.

مثال عددي محلول

للمصفوفة الافتراضية

تكون الصورة السلمية المختزلة للصفوف

يوجد محوران في العمودين 1 و3، لذلك تساوي الرتبة 2. العمود 2 حر، وبُعد النواة يساوي 3 - 2 = 1. تعرض الحاسبة التسلسل الفعلي لعمليات الصف الذي استخدمته للوصول إلى هذه النتيجة، ولا تكتفي بالمصفوفة النهائية.

الرتبة وبُعد النواة والأعمدة المحورية والحرة

تحسب الرتبة مواضع المحاور في المصفوفة المختزلة. وهي تصف بُعد فضاء أعمدة المصفوفة، وتساوي أيضاً عدد الصفوف غير الصفرية في RREF.

بُعد النواة هو بُعد الفضاء الصفري للمصفوفة. لمصفوفة أبعادها m × n ورتبتها r، تكون علاقة الرتبة وبُعد النواة كما يلي:

الرتبة + بُعد النواة = عدد الأعمدة، أو r + بُعد النواة = n.

تستخرج الحاسبة هذه القيم مباشرة من الاختزال العددي. قد لا يكون للمصفوفة أي عمود حر، وعندئذ يكون بُعد النواة صفراً. وقد يكون للمصفوفة المستطيلة العريضة عدة أعمدة حرة، كما يمكن أن تقل رتبة المصفوفة ذات الصفوف التابعة أو الصفرية عن عدد صفوفها.

قواعد الإدخال والتسامح العددي

أدخل كل صف في سطر مستقل. في الصفحة العربية افصل القيم بمسافات أو بالفاصلة المنقوطة الإنجليزية (;) أو بالشرطة العمودية (|) لأن العلامة ٫ مخصصة للجزء العشري. تُهمل السطور الفارغة، لكن يجب أن تتساوى أطوال جميع الصفوف غير الفارغة. يمكن إدخال أعداد صحيحة أو عشرية أو بالصيغة العلمية مثل 2٫5e-3. يجب أن تكون كل قيمة منتهية وبين -1000000 و1000000.

تستخدم الحاسبة حساب الفاصلة العائمة. أثناء الاختزال تُعامل القيم ذات الحجم المطلق الأقل من 1e-10 على أنها صفر. يمنع هذا التسامح ظهور بقايا التقريب الصغيرة كمحاور زائفة، لكنه يعني أيضاً أن المصفوفات القريبة من التفرد ينبغي فحصها وفق متطلبات الدقة في مقررك أو تطبيقك.

ما الذي لا تفعله هذه الحاسبة؟

هذه أداة عددية لاختزال المصفوفات، وليست نظام جبر رمزي. لا تقبل المتغيرات ولا الكسور المكتوبة كتعابير ولا الجذور ولا الصيغ. ولا تحسب المحدد أو المعكوس، ولا تنتج حلاً بارامترياً، ولا تحوّل الصفوف إلى معادلات، ولا تقرر اتساق نظام موصوف بصورة مستقلة.

يمكنك إدخال مصفوفة موسعة عددية لمعاينة اختزالها، لكن الأداة تعامل كل الأعمدة بوصفها أجزاء من مصفوفة واحدة. فهي لا تتعرف على حد فاصل للمصفوفة الموسعة ولا تفسر العمود الأخير على أنه ثوابت. استخدم RREF ومعلومات الأعمدة بوصفها مخرجات للمصفوفة، ثم طبّق الاصطلاحات المطلوبة في مسألة الجبر الخطي لديك.