حاسبة المجموعات

الصيغة

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

المكافئ: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

أمثلة عملية

• C(10, 3) = 120: طرق اختيار 3 إضافات من 10.
• C(52, 5) = 2,598,960: عدد أيدي البوكر المكوّنة من 5 بطاقات من مجموعة أوراق قياسية.
• C(49, 6) = 13,983,816: مجموعات السحب الرئيسية لليانصيب الوطني في المملكة المتحدة.
• C(70, 5) × 25 = 302,575,350: مجموعات الجائزة الكبرى Mega Millions (5 كرات رئيسية من 70 + كرة Mega واحدة من 25).
• C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: مجموعات فرعية مكونة من نصف مجموعة مكونة من 100 عنصر.

التوليفات مقابل التباديل

• المجموعة C(n, k): الترتيب لا يهم. اختيار {A, B, C} هو نفسه اختيار {C, B, A}.
• التقليب P(n, k): الترتيب مهم. {A, B, C} يختلف عن {C, B, A}.
• العلاقة: P(n, k) = C(n, k) × k!

سحوبات اليانصيب عبارة عن مجموعات (لا يهم ترتيب الكرات). أما مراكز نهاية السباق فهي تباديل (المركز الأول والثاني والثالث مهمة).

مثلث باسكال

تشكل C(n, k) مثلث باسكال عند ترتيبها:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

كل إدخال C(n, k) هو مجموع المدخلين الموجودين فوقه: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). متماثل: C(n, k) = C(n, n-k).

خصائص

• C(n, 0) = C(n, n) = 1: طريقة واحدة فقط لاختيار لا شيء أو كل شيء.
• C(n, 1) = n: n طريقة لاختيار عنصر واحد.
• مجموع الصف n: Σ C(n, k) من k=0 إلى n = 2ⁿ. إجمالي المجموعات الفرعية لمجموعة العناصر n.
• عصا الهوكي: Σ C(i, k) من i=k إلى n = C(n+1, k+1).

تطبيقات العالم الحقيقي

• احتمالات اليانصيب: 1 / C(n, k) للأرقام الدقيقة المسحوبة.
• تصميم العينات: اختيار مجموعات الاختبار من السكان.
• علم الوراثة: حساب الأنماط الجينية المحتملة للذرية.
• الجدولة: تحتاج البطولات بنظام الدوري الدوري إلى مباريات C (فرق، 2).
• التوزيع ذو الحدين: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
• اختيار اللجنة: طرق تشكيل لجنة من 5 أعضاء من بين 20 عضوًا = C(20, 5) = 15,504.

الأعداد الكبيرة: تبقى دقيقة

تنمو النتائج بسرعة: C(100، 50) يتكون من 30 رقمًا بالفعل. تحدّ الآلة الحاسبة n عند 170، وهو ما يغطي كل الاستخدامات العملية مثل اليانصيب واللجان والعينات، وتبقى كل إجابة دقيقة لأن الحساب يستخدم عملية حسابية صحيحة ذات دقة عشوائية بدلًا من الأعداد العشرية العائمة.