حاسبة الأعداد المركّبة

العمليات الأربع

بالنسبة إلى z₁ = a + bi و z₂ = c + di، تنبع الحسابات مباشرةً من معاملة i كرمز يحقّق i² = −1:

• المجموع: (a + c) + (b + d)i
• الفرق: (a − c) + (b − d)i
• حاصل الضرب: (ac − bd) + (ad + bc)i
• حاصل القسمة: اضرب البسط والمقام في مرافق z₂: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

القسمة معرّفة فقط عندما يكون المقام c² + d² غير صفري، أي كلما كان z₂ لا يساوي 0 + 0i.

مقياس z₁ وسعته

المقياس هو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة (a, b) في المستوى المركّب: |z₁| = √(a² + b²). السعة هي الزاوية التي يصنعها z₁ مع المحور الحقيقي الموجب، وتُحسب بدالة ظل القوس ذات الوسيطين arg(z₁) = atan2(b, a)، وتُعرض هنا بالدرجات ضمن المجال من −180° إلى 180°.

مثال محلول

ليكن z₁ = 3 + 2i و z₂ = 1 + 4i.

أخطاء يجب تجنّبها

• نسيان أن i² = −1. عند الضرب، يغيّر الحدّ bd·i² إشارته وينضم إلى الجزء الحقيقي؛ ولهذا فإن الجزء الحقيقي من حاصل الضرب هو ac − bd وليس ac + bd.
• القسمة دون المرافق. لا يمكنك تفكيك (a + bi)/(c + di) حدًّا حدًّا؛ اضرب أولًا في (c − di)/(c − di).
• الخلط بين الدرجات والراديان. السعة هنا بالدرجات؛ لكن كثيرًا من لغات البرمجة تُرجع الراديان من atan2. اضرب في 180/π للتحويل.
• أخطاء الرُّبع. استخدم atan2 وليس arctan(b/a) العادية، وإلا وقعت زاوية النقاط ذات الجزء الحقيقي السالب في الرُّبع الخطأ.