Softonic

حل المعادلات التكعيبية

خطوة 1 / 3 حل ax³ + bx² + cx + d = 0
التالي

المعادلة التكعيبية لها الصيغة العامة ax³ + bx² + cx + d = 0 ولها دائمًا ثلاثة جذور للأعداد المركبة. أدخل المعاملات الأربعة وسيعيدها الحل باستخدام صيغة كاردانو: ثلاثة جذور حقيقية عندما يكون المميز غير موجب، وجذر حقيقي واحد بالإضافة إلى زوج مترافق معقد عندما يكون المميز موجبًا، وتكوين جذر مزدوج عندما يكون المميز يساوي صفرًا.

كيف يجد الحلال الجذور

  1. 1

    أدخل المعاملات

    أربعة أرقام: أ، ب، ج، د. يجب أن يكون المعامل الرئيسي a غير صفر، وإلا ستكون المعادلة تربيعية وليست تكعيبية.

  2. 2

    المعادلة التكعيبية المخفّضة

    يقوم الحلّال بإزاحة المعادلة بمقدار -b/(3a) لإزالة الحد التربيعي، مما يُنتج الصيغة `t³ + pt + q = 0`.

  3. 3

    فحص التمييز

    Δ = (q/2)² + (p/3)³ تحدد المسار: Δ > 0 يعطي جذرًا حقيقيًا واحدًا، Δ = 0 يعطي جذرًا مزدوجًا، Δ < 0 يعطي ثلاثة جذور حقيقية عبر حساب المثلثات.

  4. 4

    التحول إلى الوراء

    يتم إزاحة كل جذر موجود في مساحة t بواسطة -b/(3a) لاستعادة x. يقوم الحل بإرجاعها بترتيب تنازلي حيثما ينطبق ذلك.

حالات التمييز وماذا تعني

تمر طريقة كاردانو عبر أحد الفروع الثلاثة اعتمادًا على إشارة المميز Δ = (q/2)² + (p/3)³. وتعكس هندسة الرسم البياني المكعب هذا بالضبط.

جدول الحالة

المميز جذور شكل الرسم البياني
Δ > 0 1 حقيقي، 2 مرافقين معقدين يعبر المحور السيني مرة واحدة
Δ = 0 3 حقيقية، على الأقل اثنان متساويان يمس المحور السيني عند جذر مزدوج
Δ < 0 3 جذور حقيقية متميزة يعبر المحور السيني ثلاث مرات

مثال عملي

من أجل x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (المعاملات 1، −6، 11، −6):

  • أزِح بمقدار −b/(3a) = 2 للحصول على الشكل المنخفض: p = −1، q = 0.
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0، إذًا نسلك مسار الجذور الحقيقية الثلاثة (المثلثي).
  • تعطي الصيغة المثلثية الجذور الحقيقية الثلاثة المتميزة x = 1، 2، 3.

الاعتبارات العددية

  • خطأ الفاصلة العائمة يتسلل عندما تكون الجذور الثلاثة قريبة من بعضها البعض (جذر شبه ثلاثي). قد تختلف الجذور المعروضة في المنازل العشرية القليلة الأخيرة عن القيم الدقيقة.
  • صغير جدًا a يجعل b/(3a) كبيرًا، مما يهيمن على العملية الحسابية ويقلل الدقة. إذا كانت قيمة |a| أقل من 1e-12 تقريبًا، فقم بحلها كمعادلة تربيعية بدلاً من ذلك.
  • معاملات الأعداد الصحيحة تعطي المخرجات الأنظف: ستظهر الجذور المنطقية بقيمها الدقيقة حتى تقريب الفاصلة العائمة.

المعادلات ذات الصلة

  • التربيعية: ax² + bx + c = 0. استخدم حل المعادلات التربيعية - بشكل مغلق وأبسط.
  • معادلة من الدرجة الرابعة: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. تختزل طريقة فيراري إلى معادلة تكعيبية حلّالة؛ لم تُغطَّ هنا.
  • المعادلة التكعيبية المخفّضة: اضبط b = 0 لتخطّي الإزاحة وإدخال x³ + px + q = 0 مباشرة.

الأسئلة الشائعة

المعادلة لم تعد مكعبة. يرفض الحل المتابعة في هذه الحالة، قم بالتبديل إلى حل المعادلات التربيعية لـ bx² + cx + d = 0.

يقوم الحل بإرجاع الجذر الحقيقي الوحيد في هذه الحالة. الجذران الآخران عبارة عن زوج مترافق معقد تعطيه صيغة كاردانو في شكل مغلق؛ قم بحسابها على أنها -x1/2 ± (√3/2) × i × المقياس إذا كنت في حاجة إليها للحصول على إجابة رمزية.

يمكن أن تنتج التطبيقات العددية لطريقة كاردانو بقايا بترتيب 1e-15 بسبب تقريب الفاصلة العائمة. تعامل مع أي شيء أقل من 1e-10 على أنه حقيقي؛ يقوم هذا الحل بالفعل بتصفية تلك البقايا للفرع Δ <0.

تُرسَل المعاملات الأربعة إلى الخادم فقط لحساب الجذور ولا تُخزَّن. عند استخدام العرض خطوة بخطوة، تظهر المعاملات أيضًا في رابط الصفحة.

أدوات ذات صلة

حاسبة توافق الأسماء

أدخل اسمين لتحصل على درجة توافق طريفة ورقم علم الأعداد الفيثاغوري لكل اسم. تقرأ الأداة الأبجدية اللاتينية (A إلى Z) فقط، لذا انقل الاسم العربي حرفيا إلى اللاتينية أولا.

حاسبة الوقت قبل ساعات

حدد التاريخ والوقت الدقيقين اللذين كانا قبل عدد معين من الساعات من الآن.

محول الأميال إلى كيلومترات

حوّل الأميال إلى كيلومترات بالمعامل الدقيق 1 mi = 1.609344 km، مع جدول للمسافات الشائعة واختصارات للحساب الذهني.

حاسبة الرقم الهيدروجيني (pH)

احسب pH وpOH من تركيز أيونات الهيدروجين أو الهيدروكسيد، أو حوّل pH إلى [H⁺] و[OH⁻]، بافتراض درجة حرارة 25 °م.

حاسبة الوقت بعد ساعات من الآن

اعثر على التاريخ والوقت الدقيقين بعد عدد محدد من الساعات من الآن، معروضين بتوقيت UTC.

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

الأداة متاحة بلغات أخرى