حل المعادلات التكعيبية
المعادلة التكعيبية لها الصيغة العامة ax³ + bx² + cx + d = 0 ولها دائمًا ثلاثة جذور للأعداد المركبة. أدخل المعاملات الأربعة وسيعيدها الحل باستخدام صيغة كاردانو: ثلاثة جذور حقيقية عندما يكون المميز غير موجب، وجذر حقيقي واحد بالإضافة إلى زوج مترافق معقد عندما يكون المميز موجبًا، وتكوين جذر مزدوج عندما يكون المميز يساوي صفرًا.
كيف يجد الحلال الجذور
-
1
أدخل المعاملات
أربعة أرقام: أ، ب، ج، د. يجب أن يكون المعامل الرئيسي a غير صفر، وإلا ستكون المعادلة تربيعية وليست تكعيبية.
-
2
المعادلة التكعيبية المخفّضة
يقوم الحلّال بإزاحة المعادلة بمقدار -b/(3a) لإزالة الحد التربيعي، مما يُنتج الصيغة `t³ + pt + q = 0`.
-
3
فحص التمييز
Δ = (q/2)² + (p/3)³ تحدد المسار: Δ > 0 يعطي جذرًا حقيقيًا واحدًا، Δ = 0 يعطي جذرًا مزدوجًا، Δ < 0 يعطي ثلاثة جذور حقيقية عبر حساب المثلثات.
-
4
التحول إلى الوراء
يتم إزاحة كل جذر موجود في مساحة t بواسطة -b/(3a) لاستعادة x. يقوم الحل بإرجاعها بترتيب تنازلي حيثما ينطبق ذلك.
حالات التمييز وماذا تعني
تمر طريقة كاردانو عبر أحد الفروع الثلاثة اعتمادًا على إشارة المميز Δ = (q/2)² + (p/3)³. وتعكس هندسة الرسم البياني المكعب هذا بالضبط.
جدول الحالة
| المميز | جذور | شكل الرسم البياني |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 حقيقي، 2 مرافقين معقدين | يعبر المحور السيني مرة واحدة |
| Δ = 0 | 3 حقيقية، على الأقل اثنان متساويان | يمس المحور السيني عند جذر مزدوج |
| Δ < 0 | 3 جذور حقيقية متميزة | يعبر المحور السيني ثلاث مرات |
مثال عملي
من أجل x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (المعاملات 1، −6، 11، −6):
- أزِح بمقدار −b/(3a) = 2 للحصول على الشكل المنخفض: p = −1، q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0، إذًا نسلك مسار الجذور الحقيقية الثلاثة (المثلثي).
- تعطي الصيغة المثلثية الجذور الحقيقية الثلاثة المتميزة x = 1، 2، 3.
الاعتبارات العددية
- خطأ الفاصلة العائمة يتسلل عندما تكون الجذور الثلاثة قريبة من بعضها البعض (جذر شبه ثلاثي). قد تختلف الجذور المعروضة في المنازل العشرية القليلة الأخيرة عن القيم الدقيقة.
- صغير جدًا a يجعل b/(3a) كبيرًا، مما يهيمن على العملية الحسابية ويقلل الدقة. إذا كانت قيمة
|a|أقل من 1e-12 تقريبًا، فقم بحلها كمعادلة تربيعية بدلاً من ذلك. - معاملات الأعداد الصحيحة تعطي المخرجات الأنظف: ستظهر الجذور المنطقية بقيمها الدقيقة حتى تقريب الفاصلة العائمة.
المعادلات ذات الصلة
- التربيعية:
ax² + bx + c = 0. استخدم حل المعادلات التربيعية - بشكل مغلق وأبسط. - معادلة من الدرجة الرابعة:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. تختزل طريقة فيراري إلى معادلة تكعيبية حلّالة؛ لم تُغطَّ هنا. - المعادلة التكعيبية المخفّضة: اضبط b = 0 لتخطّي الإزاحة وإدخال
x³ + px + q = 0مباشرة.
الأسئلة الشائعة
المعادلة لم تعد مكعبة. يرفض الحل المتابعة في هذه الحالة، قم بالتبديل إلى حل المعادلات التربيعية لـ bx² + cx + d = 0.
يقوم الحل بإرجاع الجذر الحقيقي الوحيد في هذه الحالة. الجذران الآخران عبارة عن زوج مترافق معقد تعطيه صيغة كاردانو في شكل مغلق؛ قم بحسابها على أنها -x1/2 ± (√3/2) × i × المقياس إذا كنت في حاجة إليها للحصول على إجابة رمزية.
يمكن أن تنتج التطبيقات العددية لطريقة كاردانو بقايا بترتيب 1e-15 بسبب تقريب الفاصلة العائمة. تعامل مع أي شيء أقل من 1e-10 على أنه حقيقي؛ يقوم هذا الحل بالفعل بتصفية تلك البقايا للفرع Δ <0.
تُرسَل المعاملات الأربعة إلى الخادم فقط لحساب الجذور ولا تُخزَّن. عند استخدام العرض خطوة بخطوة، تظهر المعاملات أيضًا في رابط الصفحة.
أدوات ذات صلة
حاسبة توزيع شرائح الجدار الزخرفية
خطط لتباعد شرائح الديكور الداخلي ومحاورها وألواحها الرأسية من عرض الجدار وعرض الشريحة وشق المنشار وهامش الاحتياط.
حاسبة سعة مزيل الرطوبة
قدّر سعة مزيل الرطوبة المحمول حسب المساحة ودرجة البلل، باللتر يوميًا وبالباينت الأمريكي يوميًا وفق التصنيف الحالي.
حاسبة الاحتياج اليومي من الطاقة
قدّر BMR وTDEE اليومي باستخدام معادلة ميفلين سانت جيور ومعامل نشاط تختاره.
حاسبة تدفق مضخة المسبح
احسب تدفق تدوير مياه المسبح من الحجم وزمن التدوير، أو افحص زمن التدوير من معدل تدفق فعلي بوحدات m³ وm³/h.
حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI
احسب مؤشر كتلة الجسم من الطول والوزن. يعرض التصنيف حسب منظمة الصحة العالمية، ونطاق الوزن الصحي، وحدود استخدام BMI.
حاسبة إعادة جدولة القرض العقاري بعد سداد جزئي
قدّر قسط أصل الدين والفائدة بعد دفعة جزئية كبيرة مع بقاء معدل الفائدة والمدة المتبقية، إضافة إلى الوفر الشهري والفائدة المتبقية.
الأداة متاحة بلغات أخرى
- 삼차방정식 계산기 [KO]
- Phương pháp giải phương trình lập phương [VI]
- Oplosser voor kubische vergelijkingen [NL]
- 三次方程求解器 [ZH]
- Kubische Gleichungs-Löser [DE]
- Cubic Equation Solver [EN]
- Pemecah Persamaan Kubik [ID]
- Lösare för kubiska ekvationer [SV]
- Kalkulator równań sześciennych [PL]
- เครื่องแก้สมการลูกบาศก์ [TH]
- Resolutor de Ecuaciones Cúbicas [ES]
- Résolveur d'équations cubiques [FR]
- Solução de Equação Cúbica [PT]
- 三次方程式ソルバー [JA]
- Kübik Denklem Çözücü [TR]
- Risolutore di Equazioni Cubiche [IT]
- Решатель кубических уравнений [RU]