حاسبة الضرب القياسي

الصيغتان

نموذج المكوّن للمتجهات a = (a1, a2, ..., an) وb = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

الشكل الهندسي:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

العبارتان متساويتان؛ وعند جعلهما متساويتين، نحصل على cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|)، وهي صيغة تشابه الجيب التمامي.

ما الذي تخبرك به الإشارة

مثال محلول

a = (3, 4), b = (1, 2):

• المكونات: 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11
• |a| = √(9 + 16) = 5
• |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.236
• cos(θ) = 11 / (5 × 2.236) = 0.9839
• θ = arccos(0.9839) ≈ 10.3 درجة

يشير المتجهان تقريبًا في نفس الاتجاه، ولذلك يكون ضربهما القياسي موجبًا وكبيرًا.

التطبيقات الشائعة

• تشابه جيب التمام في أنظمة التوصية: إلى أي مدى يتشابه متجها تضمين (embedding)؟
• إسقاط متجه على آخر: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• الشغل في الفيزياء: W = F . d، أي الضرب القياسي للقوة في الإزاحة.
• إضاءة الرسوميات: الضرب القياسي لعمودي السطح في اتجاه الضوء يعطي السطوع المنتشر (قانون لامبرت).
• التحقق من التعامد: تحقق بسرعة مما إذا كان متجها الأساس متعامدين.

نصائح

• وحّد المتجهات قبل المقارنة. إذا كنت تهتم بالاتجاه فقط (التشابه)، فاقسم كل متجه على مقداره أولًا؛ عندئذ يساوي الضرب القياسي جيب التمام مباشرة.
• انتبه إلى البُعد: يُعتبر المتجه المكوَّن من ثلاث نقاط مع إضافة متجه من أربع نقاط غير معرَّف؛ لذا يجب تعبئته أو قصه بشكل متعمد، وليس عن طريق الخطأ.
• الاستقرار العددي: بالنسبة للمتجهات الكبيرة جدًا، قد يفقد نظام التراكم بنقطة عائمة دقة البيانات؛ لذا يُستحسن استخدام الدقة المزدوجة أو طريقة مجموع كاهان عندما تتجاوز أبعاد المتجهات عدة آلاف.