حاسبة مساحة القطع الناقص

الصيغ

لقطع ناقص نصف محوره الأكبر a ونصف محوره الأصغر b:

• المساحة: A = π × a × b

• الانحراف: e = √(1 − b²/a²)، حيث 0 ≤ e < 1

• المحيط (تقريب رامانوجان): مع h = (a − b)² / (a + b)²،

  P ≈ π(a + b) × (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)))

لا توجد صيغة دقيقة بسيطة لمحيط القطع الناقص، إذ يتطلّب تكاملًا إهليلجيًّا. والتقريب الثاني لرامانوجان أعلاه دقيق بأفضل من جزء واحد في عشرة ملايين لمعظم الأشكال اليومية، وهو أدقّ بكثير من أي شريط قياس.

مثال محلول

لنأخذ سطح طاولة بيضاوي نصف محوره الأكبر a = 5 ونصف محوره الأصغر b = 3.

• المساحة = π × 5 × 3 = 47.1239 وحدة مربعة
• h = (5 − 3)² / (5 + 3)² = 4 / 64 = 0.0625
• المحيط ≈ π × 8 × (1 + 3×0.0625 / (10 + √(4 − 0.1875))) ≈ 25.5269 وحدة
• الانحراف = √(1 − 9/25) = √0.64 = 0.8

إذن فالطاولة ممدودة إلى حدٍّ ما (e = 0.8)، وستحتاج إلى نحو 25.53 وحدة من شريط الحواف لتغليف حافتها.

قيم مرجعية

أخطاء ينبغي تجنّبها

• المحور مقابل نصف المحور. تحتاج الصيغ إلى أنصاف المحاور (من المركز إلى الحافة)، لا الأقطار الكاملة. إذا قِست العرض والارتفاع الكاملين، فاقسم كل قيمة على اثنين أولًا.
• الدائرة حالة خاصة. عندما يكون a = b يصبح الانحراف 0 وتكون المساحة ببساطة πr². وإذا خرج الانحراف مساويًا لـ 0 فلديك دائرة، لا قطع ناقص.
• المحيط تقدير. حتى صيغة رامانوجان تقريب، وإن كانت جيدة إلى حدٍّ بالغ. لا تتوقّع أن تطابق النتيجة الدقيقة للتكامل الإهليلجي حتى عشرين خانة عشرية.