حاسبة فيبوناتشي

صيغة فيبوناتشي

تُعرَّف متتالية فيبوناتشي بعلاقة تكرارية بسيطة:

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   عندما n > 2

كل حدّ هو مجموع الحدّين السابقين له. تستخدم هذه الحاسبة الاصطلاح F(1) = 1 وF(2) = 1، فتبدأ المتتالية بـ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

مثال محلول

لإيجاد F(10)، اجمع حدًّا تلو الآخر صعودًا:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

إذن F(10) = 55. ومجموع هذه الحدود العشرة هو 143، ونسبة الحدّين الأخيرين 55 / 34 ≈ 1.6176 قريبة بالفعل من النسبة الذهبية φ ≈ 1.6180339887.

المتتالية والمجموع والنسبة الذهبية

متطابقة أنيقة: مجموع أول n من أعداد فيبوناتشي يساوي F(n+2) − 1. فمن أجل n = 10 يكون ذلك F(12) − 1 = 144 − 1 = 143، وهو ما يطابق الجدول.

أخطاء شائعة

• يختلف ترقيم الحدود. تبدأ بعض الكتب من F(0) = 0. تستخدم هذه الأداة F(1) = 1 وF(2) = 1، فأزِح الدليل بمقدار واحد إن كنت تقارن بجدول مبني على F(0).
• طفح الفاصلة العائمة. يفقد حساب أعداد فيبوناتشي الكبيرة بأعداد الفاصلة العائمة العادية دقتَه بعد F(78) تقريبًا. تستخدم هذه الحاسبة حسابًا دقيقًا للأعداد الصحيحة الكبيرة، فيُعاد F(200) (وهو عدد من 42 رقمًا) كاملًا.
• النسبة الذهبية نهاية لا مساواة. لا تفعل F(n) / F(n-1) سوى الاقتراب من φ؛ ولا تساويها تمامًا أبدًا عند قيمة منتهية لـ n. وعند قيم n الصغيرة يكون الفرق ملحوظًا بوضوح.