حاسبة المتتالية الهندسية

الصيغ

في المتتالية الهندسية يساوي كل حد الحدَّ السابق مضروبًا في الأساس r. انطلاقًا من الحد الأول a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

مجموع أول n من الحدود (المجموع الجزئي) هو:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) عندما r ≠ 1

عندما يكون الأساس مساويًا تمامًا للعدد 1 تكون جميع الحدود متساوية، فيكون المجموع ببساطة Sₙ = n · a₁. وإذا كان الأساس محصورًا تمامًا بين −1 و1، فإن المجموع اللانهائي يتقارب نحو a₁ / (1 − r).

مثال محلول

خذ a₁ = 2 وr = 3، واطلب n = 5 حدود.

• المتتالية: 2، 6، 18، 54، 162
• الحد الخامس: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
• المجموع: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

كل حد يساوي تمامًا 3 أضعاف الحد الذي قبله، ومجموع الحدود الخمسة يساوي 242.

الحدود والمجاميع الجزئية في لمحة

أخطاء شائعة

• الخطأ بمقدار واحد في الأس. يستخدم الحد النوني الصيغة r^(n−1)، وليس rⁿ، فالحد الأول لم يُضرَب في الأساس بعد.
• الأساس يساوي 1. إذا عوَّضت r = 1 في صيغة المجموع الرئيسية فستقسم على صفر. استخدم Sₙ = n · a₁ بدلًا من ذلك؛ وتنتقل هذه الأداة تلقائيًا.
• هندسية أم حسابية. المتتالية الهندسية تضرب في أساس ثابت؛ والحسابية تضيف فرقًا ثابتًا. الخلط بينهما يعطي حدودًا خاطئة تمامًا.
• الأسس السالبة. أساس مثل −2 يجعل إشارة الحدود تتبدَّل (2، −4، 8، −16، …)؛ وهذا صحيح والحاسبة تتعامل معه.

أين تظهر المتتاليات الهندسية

تُنمذِج المتتاليات الهندسية كل ما ينمو أو يتناقص بنسبة مئوية ثابتة في كل خطوة. تضرب الفائدة المركبة الرصيد في العامل نفسه كل فترة، فتُكوِّن الأرصدة متتالية هندسية. ونموُّ السكان، والاضمحلال الإشعاعي المقيس بأنصاف العُمر، وارتفاعات ارتداد كرة تُسقَط، والإهلاك السنوي لأصل ما، تتبع جميعها النمط نفسه. تمييز الأساس في بيانات حقيقية يتيح لك توقُّع القيمة التالية، أو تقدير مجموع تراكمي، أو الحكم على انطباق صيغة المجموع اللانهائي المتقارب عندما يقع الأساس بين −1 و1.