حاسبة التكامل

دوال أصلية شائعة

التقنيات التي تجربها الأداة، بالترتيب

1. القواعد الأساسية — القوة، الأسية، المثلثية.
2. التعويض (u-sub) — رصد دالة ومشتقتها في الدالة المتكامِلة.
3. التكامل بالأجزاء — ∫u dv = uv - ∫v du، لجداء أنواع دوال مختلفة.
4. الكسور الجزئية — للدوال المتكامِلة النسبية P(x)/Q(x) مع deg(P) < deg(Q).
5. المتطابقات المثلثية — لجداء الجيوب وجيوب التمام.
6. التربيع العددي — Gauss-Kronrod للتكاملات المحددة حين لا توجد صورة مغلقة.

تدوين التكامل المحدد

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

تقول النظرية الأساسية: إذا كانت F دالة أصلية لـ f، فإن التكامل المحدد من a إلى b يساوي F(b) - F(a). تحسب الأداة F أولا، ثم تقيّم عند الحدين.

أخطاء شائعة

• إسقاط + C. لكل تكامل غير محدد ثابت تكامل. تطبعه الأداة؛ والطلاب الذين يكتبون يدويا ينسونه غالبا.
• حدود خاطئة على التكاملات الشاذة. ∫_0^∞ e^(-x) dx = 1، لكن ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). تحقق دائما من التقارب.
• استخدام arctan بدل arctanh حين يتحلل المقام إلى (x-a)(x-b) بجذور حقيقية — فذلك لوغاريتم، لا arctan.
• نسيان قاعدة السلسلة في التعويض. إن كان u = 3x، فإن du = 3 dx، لا du = dx.

حين لا توجد صورة مغلقة

بعض التكاملات ببساطة لا دالة أصلية ابتدائية لها — e^(-x^2)، sin(x)/x، 1/ln(x). وعلى فترة محددة، تبقى لها قيمة عددية تحسبها الأداة بدقة عالية.