Softonic

حاسبة التقريب الخطي

خطوة 1 / 3 التقريب الخطي

استخدم x متغيرًا والرمز ^ للأسس، وضع ما تُطبَّق عليه الدالة بين قوسين. يمكنك كتابة الضرب هكذا: 2x أو 2x(x + 1) أو x*ln(x). الدوال والثوابت التي يمكنك استخدامها: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

أمثلة

التالي: النقطة a

تحسب حاسبة التقريب الخطي هذه التقريب الخطي لدالة f عند نقطة a، أي معادلة المماس L(x) = f(a) + f’(a)(x - a)، وتستخدمه لتقدير f(x) عند قيمة x قريبة من a. اكتب الدالة والنقطة a، وأضف قيمة x إن أردت تقديرًا. تحصل على L(x) بعد التعويض بالأعداد وعلى صيغة الميل والمقطع، وعلى قيمتي f(a) و f’(a)، وعلى التقدير الخطي بجوار القيمة الفعلية، وعلى الخطأ المطلق ونسبة الخطأ المئوية، مع الحل خطوة بخطوة كما يُطلب في مقررات التفاضل والتكامل.

كيف تحسب التقريب الخطي

  1. 1

    اكتب الدالة f(x)

    استخدم x متغيرًا، مثل sqrt(x) أو x^3 - 2x أو ln(x) أو sin(x) أو e^x أو f(x) = 1/x. تُكتب الأسس بالرمز ^، ويوضع ما تُطبَّق عليه الدالة بين قوسين.

  2. 2

    أدخل النقطة a

    اختر نقطة يسهل حساب f عندها، مثل 4 للدالة sqrt(x) أو pi/6 للدالة sin(x). تعرض الحاسبة أولًا دالتك كما قرأتها، فتكتشف قبل النتيجة أي سهو، مثل كتابة e^2x وأنت تقصد e^(2x).

  3. 3

    أضف قيمة x المراد التقدير عندها (اختياري)

    اختر x قريبة من a، مثل 4.1. اترك الخانة فارغة إن كنت تريد التقريب الخطي وحده.

  4. 4

    اقرأ L(x) والتقدير والخطأ

    تعرض النتيجة L(x) بصيغة النقطة والميل وبصيغة الميل والمقطع، وقيمتي f(a) و f'(a)، والتقدير L(x)، والقيمة الفعلية f(x)، ونوعي الخطأ، وكل خطوة من خطوات الحل.

صيغة التقريب الخطي ومتى تصلح

التقريب الخطي لدالة f عند a هو المستقيم الذي يمر بالنقطة (a, f(a)) وله ميل المنحنى نفسه عندها:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

بالقرب من a يكاد المنحنى ومماسه يتطابقان، ولذلك تصلح L(x) تقديرًا سريعًا لقيمة f(x). هذا هو التقريب بالمماس، ويسمى أيضًا التقريب الخطي أو كثيرة حدود تايلور من الدرجة الأولى.

مثال محلول: تقدير sqrt(4.1)

  1. اختر f(x) = sqrt(x) و a = 4، وهي أقرب نقطة يسهل حساب الجذر التربيعي عندها.
  2. احسب قيمة الدالة: f(4) = 2.
  3. اشتق: f'(x) = 1/(2sqrt(x))، ومنها f'(4) = 1/4 = 0.25.
  4. كوّن معادلة المستقيم: L(x) = 2 + 0.25(x - 4)، وهي بصيغة الميل والمقطع L(x) = 0.25x + 1.
  5. قدّر: L(4.1) = 2 + 0.25(0.1) = 2.025.
  6. قارن: القيمة الفعلية هي sqrt(4.1) = 2.024846، فيكون الخطأ المطلق 0.000154 ونسبة الخطأ المئوية نحو 0.0076%.

كتبنا الصيغ هنا بالأرقام 0.25 و 2.025 كما يمكنك إدخالها في الحاسبة. أما الحاسبة فتعرض نتائجها بالأرقام العربية: التقدير ٢٫٠٢٥، والقيمة الفعلية ٢٫٠٢٤٨٤٦، والخطأ المطلق ٠٫٠٠٠١٥٤، ونسبة الخطأ المئوية ٠٫٠٠٧٦٪.

تقريبات خطية مشهورة

الدالة النقطة a التقريب الخطي L(x) التقدير القيمة الفعلية الخطأ المطلق
f(x) = sqrt(x) 4 L(x) = 2 + 0.25(x - 4) L(4.1) = 2.025 2.024846 0.000154
f(x) = cbrt(x) 8 L(x) = 2 + (1/12)(x - 8) L(8.1) = 2.008333 2.008299 0.000034
f(x) = ln(x) 1 L(x) = x - 1 L(1.1) = 0.1 0.095310 0.004690
f(x) = sin(x) 0 L(x) = x L(0.1) = 0.1 0.099833 0.000167
f(x) = e^x 0 L(x) = 1 + x L(0.1) = 1.1 1.105171 0.005171
f(x) = 1/x 2 L(x) = 0.5 - 0.25(x - 2) L(2.1) = 0.475 0.476190 0.001190

ما مقدار الخطأ؟

إذا رمزنا لخطأ التقريب الخطي بالحرف E فهو يساوي تقريبًا E = |f''(a)| / 2 × (x - a)^2. ويترتب على ذلك أمران:

  • المسافة مؤثرة، وأثرها تربيعي. للدالة sqrt(x) عند a = 4 يكون الخطأ 0.0000016 عند x = 4.01، و 0.000154 عند x = 4.1، و 0.0037 عند x = 4.5، و 0.0139 عند x = 5. فإذا ابتعدت عشرة أضعاف المسافة ساء التقدير نحو مئة ضعف.
  • التقعر يحدد اتجاه الخطأ. حيث يكون المنحنى مقعرًا إلى الأسفل (sqrt(x) و ln(x)) يقع المماس فوق المنحنى ويكون التقدير أكبر من القيمة الفعلية. وحيث يكون مقعرًا إلى الأعلى (e^x، و f(x) = 1/x لقيم x الموجبة) يكون التقدير أصغر منها. وتخبرك الحاسبة في أي الحالتين أنت.

كيف تكتب الدالة

ما تريده اكتب ملاحظات
الأسس x^3، x^(1/2)، e^(2x) الأس عنصر واحد: e^2x تُقرأ على أنها e^2 مضروبة في x. استخدم القوسين لكتابة e^(2x).
الضرب 2x، 2x(x + 1)، 2sin(x)، x*ln(x) كتابة العوامل متجاورة تعني ضربها.
إشارة سالبة في البداية f(x) = -x^2 تُقرأ f(x) = -(x^2). لمربع سالب x اكتب f(x) = (-x)^2.
الجذور sqrt(x)، cbrt(x) cbrt هو الجذر التكعيبي الحقيقي، ويصلح لقيم x السالبة أيضًا. أما x^(1/3) فلا قيمة لها عند x السالب، فاستخدم cbrt(x) هناك، واستخدم cbrt(x)^2 بدل x^(2/3).
الصيغة العلمية 1e-3، 2E5، 1.5e+3 يُقرأ العدد الذي يليه مباشرة الحرف e ثم أس على أنه قوة للعشرة: 1e-3 تساوي 0.001. وللحصول على 2 مضروبة في الثابت e اكتب 2*e أو 2e^x.
اللوغاريتمات ln(x)، log(x) ln هو اللوغاريتم الطبيعي، و log هو اللوغاريتم للأساس 10.
الدوال المثلثية sin(x)، cos(x)، tan(x)، asin(x)، acos(x)، atan(x) بالراديان. لزاوية 30 درجة أدخل pi/6.
غير ذلك exp(x)، abs(x)، pi، e sin^2(x) تُقرأ على أنها مربع sin(x).

يمكنك كتابة الأعداد بالأرقام 4.1 مع النقطة، أو بالأرقام العربية ٤٫١ مع الفاصلة العشرية العربية (٫). أما الفاصلة العادية فلا تُقبل، لا علامةً عشرية ولا فاصلًا للآلاف، فاكتب الألف هكذا: 1000.

نقاط لا يوجد عندها تقريب خطي

  • خارج المجال. الدالة ln(x) عند a = 0، والدالة sqrt(x) عند a = -1، والدالة f(x) = 1/x عند a = 0 ليست لها قيمة، فلا توجد نقطة يمس المماس المنحنى عندها.
  • لا ميل. للدالة abs(x) ركن عند 0، وللدالتين sqrt(x) و cbrt(x) مماس رأسي عند 0. للدالة قيمة هناك لكن ليست لها مشتقة منتهية، فلا يوجد تقريب خطي. تخبرك الحاسبة بذلك وتعرض المشتقة التي حاولت حساب قيمتها.

الأسئلة الشائعة

هما اسمان للفكرة نفسها. دالة التقريب الخطي، وتسمى بالإنجليزية linearization، هي الدالة L(x) = f(a) + f’(a)(x - a)، أي معادلة المماس عند a. والتقريب الخطي، وبالإنجليزية linear approximation، هو ما تفعله بها: أن تستخدم L(x) تقديرًا لقيمة f(x) عندما تكون x قريبة من a. وهذه الحاسبة تعطيك الاثنين معًا، المستقيم والتقدير.

تحسبها رمزيًا بالقواعد نفسها التي تستخدمها في الحل اليدوي: قاعدة القوة وقاعدة الضرب وقاعدة القسمة وقاعدة السلسلة، والمشتقات المعروفة للدوال sqrt و exp و ln و log وللدوال المثلثية والمثلثية العكسية و abs. ثم تحسب قيمة هذه المشتقة عند a، ولذلك تكون f’(a) قيمة مضبوطة في حدود التقريب المعتاد للأعداد العشرية في الحاسوب، لا تقديرًا عدديًا. وتظهر المشتقة التي وجدتها الحاسبة ضمن خطوات الحل بعد ترتيب خفيف من دون تبسيط كامل، فقد يختلف شكلها عن إجابتك وهي مساوية لها.

في هذه الحاسبة log(x) هو اللوغاريتم للأساس 10 و ln(x) هو اللوغاريتم الطبيعي، وهذا هو المتبع في معظم كتب التفاضل والتكامل والآلات الحاسبة العلمية. لكن بعض البرامج تقرأ log على أنه اللوغاريتم الطبيعي، فتأكد من المقصود في تمرينك. وإذا كانت دالتك تحتوي على log، ذكّرتك الحاسبة بذلك قبل النتيجة.

بالراديان دائمًا. فقواعد الاشتقاق، مثل كون مشتقة sin(x) هي cos(x)، لا تصح إلا بالراديان. للعمل عند زاوية 30 درجة أدخل a = pi/6، ولزاوية 45 درجة أدخل pi/4. وتقبل خانتا النقطة a وقيمة x ثوابت مثل pi/6 أو e أو sqrt(2).

لا توجد مسافة ثابتة، فالأمر يتوقف على شدة انحناء المنحنى قرب a. يزداد الخطأ مع مربع البعد عن a، فإذا نصّفت المسافة انخفض الخطأ إلى نحو الربع. أضف قيمة x واقرأ الخطأ المطلق ونسبة الخطأ المئوية. وإذا كان الخطأ أكبر مما يناسب غرضك، فاختر نقطة a أقرب إلى x.

إما أن الدالة ليست لها قيمة منتهية عند a، كما في ln(x) عند 0 أو f(x) = 1/x عند 0، وإما أن لها قيمة لكن ليس لها ميل منته، كما في abs(x) عند 0 (ركن) أو sqrt(x) عند 0 (مماس رأسي). وفي حالات نادرة، مثل x*abs(x) عند 0، تكون المشتقة موجودة لكن القواعد تعطي 0/0 هناك، وعندئذ تذكر الحاسبة أنه لا ميل ولا تخمّن قيمة. واختيار نقطة قريبة يحل هذه الحالات كلها.

تُحسب القيم بالدقة المضاعفة، أي بنحو 15 رقمًا معنويًا، وتُعرض بـ 7 أرقام معنوية. علامة التساوي تعني أن العدد معروض كاملًا، وعلامة التساوي التقريبي تعني أنه مقرَّب. وعندما تكون x قريبة جدًا من a حتى يتطابق التقدير والقيمة الفعلية في معظم الأرقام الخمسة عشر، يُعرض الخطأ بالأرقام ذات المعنى فقط.

لا. تُرسل الدالة والأعداد التي تكتبها إلى خادمنا لحساب النتيجة، وتضاف إلى رابط الصفحة عند انتقالك بين الخطوات، فيمكنك حفظ العملية الحسابية في المفضلة أو مشاركتها. ولا تُحفظ في أي حساب أو ملف شخصي.

أدوات ذات صلة

حاسبة الوقت قبل ساعات

حدد التاريخ والوقت الدقيقين اللذين كانا قبل عدد معين من الساعات من الآن.

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

حاسبة الوقت بعد ساعات من الآن

اعرف الوقت واليوم والتاريخ بدقة بعد عدد محدد من الساعات من الآن، بحسب منطقتك الزمنية، مع اللحظة نفسها بتوقيت UTC.

حاسبة علم أعداد الأسماء

احسب رقم القدر ورقم التعبير من اسمك الكامل وفق نظام فيثاغورس في علم الأعداد، مع قراءة موجزة للشخصية.

حاسبة توافق الأسماء

اكتب اسمين وشاهد كيف تتوافق أرقامهما في علم الأعداد: رقم التعبير ورقم رغبة الروح لكل اسم، مع كل خطوة من الحساب. اكتب الأسماء العربية بالحروف اللاتينية. للتسلية فقط.

حاسبة الطالع

احسب برجك الطالع ودرجته من تاريخ ميلادك ووقته ومكانه، مع المناطق الزمنية التاريخية والتوقيت الصيفي. لا تعرف وقت ميلادك؟ اطّلع على اليوم كله.

الأداة متاحة بلغات أخرى