مُحسِّب الانحدار الخطي

بالنظر إلى نقاط البيانات الـ N (x_i، y_i)، فإن ميل وقيمة التقاطع حسب طريقة أقل المربعات العادية هي:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R² – معامل التحديد – هو النسبة من التباين في المتغير y التي يمكن تفسيرها بواسطة المتغير x:

R² = 1 − SS_res / SS_tot

حيث تمثل SS_res مجموع مربعات البقايا، وتمثل SS_tot مجموع مربعات الانحرافات بين القيمة y ومتوسطها. ويُحسب معامل بيرسون r على النحو: ±√R²، مع تحمل علامة ميل الخط.

مثال عملي

خمس نقاط بيانات:

x = 3، y = 4.2. مقدار التباين المشترك = (1 – 3)(2 – 4.2) + (2 – 3)(4 – 4.2) + (3 – 3)(5 – 4.2) + (4 – 3)(4 – 4.2) + (5 – 3)(6 – 4.2) = 4.4 + 0.2 + 0 – 0.2 + 3.6 = 8.0. مقدار التباين الخاص بـ x = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.

• الميل m = 8.0 / 10 = 0.8
• نقطة التقاطع b = 4.2 − 0.8 × 3 = 1.8
• المعادلة: y = 0.8x + 1.8
• R² ≈ 0.727

ما تخبرك به الأرقام (وما لا تخبرك به)

• الميل m يشير إلى “مقدار تغير المتغير y لكل وحدة من المتغير x”، ووحدته هي y/x.
• نقطة التقاطع b تجيب عن السؤال: “ما قيمة المتغير y عندما يكون x = 0؟”، وهي ذات دلالة فقط إذا كان افتراض أن قيمة x = 0 ممكنًا في بياناتك.
• يقيس معامل R² جودة التوافق، وليس العلاقة السببية؛ فقد يكون قيمة R² عالية على بيانات بديلة خالية من الضوضاء بلا معنى من حيث التفسير.
• يعبّر معامل بيرسون (r) عن الارتباط الخطي؛ فقيمة r قريبة من الصفر، حتى في حال وجود علاقة منحنية قوية، تعني ذلك “عدم وجود تطابق خطي” وليس “عدم وجود علاقة”.

الفخاخ

• تؤدي القيم الشاذة إلى تشويه كبير في نتائج مدلات الانحدار الخطي المعتاد (OLS)، وذلك لأن دالة الخسارة تكون مربعةً؛ حيث يمكن لقيمة شاذة واحدة أن تُغيّر مسار الخط بمقدار 20 درجة.
• لا يمكن اكتشاف عدم الخطية باستخدام قيمة R² وحدها؛ لذا يجب دائمًا رسم البيانات المتبقية مقابل المتغير x.
• الانحدار ليس متماثلًا: فإن تطبيق طريقة التكيف على المتغير y بالنسبة إلى المتغير x ينتج عنه خط مختلف عن ذلك الناتج عن تطبيق نفس الطريقة على المتغير x بالنسبة إلى المتغير y.
• التعميم خارج نطاق بياناتك هو مجرد تكهّن؛ فالنموذج لا يعرف سوى النطاق الذي شاهده فعليًا.