حاسبة المشتقة الجزئية

ماذا تعني المشتقة الجزئية

تقيس المشتقة الجزئية كيف تتغير دالة متعددة المتغيرات عندما يتحرك متغير واحد بينما تبقى بقية المتغيرات ثابتة. بالنسبة إلى دالة f(x, y, z)، تتعامل المشتقة ∂f/∂x مع y وz على أنهما ثابتان. هذه هي القاعدة الأساسية وراء الحاسبة: اشتق المتغير المختار فقط، واحمل جميع عوامل المتغيرات الأخرى دون تغيير، واحذف أي حد لا يحتوي على المتغير المختار.

بالنسبة إلى حد من كثير حدود، تنطبق قاعدة القوة كما هي:

∂/∂x (a * x^m * y^n * z^p) = a * m * x^(m-1) * y^n * z^p

يعمل النمط نفسه مع y أو z؛ المتغير المختار وحده هو الذي يوفّر مضاعِف الأس.

مثال محلول

بالنسبة إلى f(x, y, z) = 3x^2y + 4xy^3 - 5z + 7:

إذا قيّمت ∂f/∂x = 6xy + 4y^3 عند (x, y, z) = (2, 3, 1)، فإن القيمة هي 6 * 2 * 3 + 4 * 3^3 = 144. لاحظ أن z لا يظهر في هذه المشتقة، لذا فإن تغيير z لن يغيّر هذه القيمة المحددة.

الصيغة المدعومة

الحاسبة حتمية عن قصد. تدعم حدوداً بأسلوب كثيرات الحدود في x وy وz: جداءات ضمنية مثل 3x^2y، وجداءات صريحة مثل x*y، ومعاملات عشرية مثل 2.5z، والثوابت وإشارتي الزائد والناقص. لا تعالج الدوال المثلثية أو اللوغاريتمات أو الأقواس أو خارج القسمة أو الشفرات العشوائية. لتلك الحالات الرمزية الأوسع، استخدم النتيجة كمدقق سريع لكثيرات الحدود بدلاً من نظام جبر حاسوبي كامل.

أخطاء شائعة

• نسيان قاعدة المتغير الثابت. في ∂/∂x، يصبح الحد 4xy^3 هو 4y^3، وليس 12xy^2.
• إسقاط العوامل المحمولة. يصبح 3x^2y هو 6xy؛ يبقى y لأنه مضاعِف ثابت.
• الخلط بين المشتقة الجزئية والمشتقة الكلية. تغيّر المشتقة الجزئية مدخلاً واحداً في كل مرة. أما المشتقة الكلية فتأخذ في الحسبان أيضاً كيف تعتمد المتغيرات بعضها على بعض.
• توقع دوال غير مدعومة. تحتاج تعبيرات مثل sin(xy) أو (x + y)^2 إلى فك أو أداة جبر رمزي قبل أن تتمكن هذه الحاسبة من معالجتها.