حاسبة الانحدار التربيعي

ما الذي يحسبه الانحدار التربيعي؟

يأخذ النموذج التربيعي الصيغة ŷ = a*x^2 + b*x + c، حيث تمثل ŷ قيمة y الملائمة. يتحكم المعامل a في انحناء المنحنى، ويمثل b معامل الحد الخطي، بينما يمثل c القيمة الملائمة عندما تكون x صفرًا. الميل عند قيمة محددة لـx هو 2*a*x + b، لذا فإن b وحده لا يمثل ميلًا ثابتًا. إذا كان a صفرًا، يصبح النموذج الملائم خطًا مستقيمًا.

تختار الحاسبة المعاملات بطريقة المربعات الصغرى العادية، فتقلل مجموع مربعات الفروق الرأسية بين قيم y المرصودة والملائمة. يظل المنحنى التربيعي خطيًا بالنسبة إلى المعاملات الثلاثة المجهولة. يشرح NIST طريقة المربعات الصغرى الخطية لنماذج كثيرات الحدود.

عندما تكون قيم x بعيدة جدًا عن الصفر، قد تستخدم المعادلة المعروضة صيغة تُطرح فيها قيمة مركزية من x ثم يُعاد تحجيمها للحصول على حساب أكثر موثوقية. وتكون قيم a وb وc المعروضة بمقياس x الأصلي تقريبية، بينما تُحسب التنبؤات والبواقي باستخدام الصيغة المستقرة عدديًا.

لكل صف، الباقي يساوي قيمة y المرصودة ناقص قيمة y الملائمة. ويُحسب الجذر التربيعي لمتوسط مربعات الخطأ بالصيغة RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n)، حيث n هو عدد الصفوف وresidual هو الباقي. وحدة RMSE هي وحدة y نفسها. أما معامل التحديد فيُحسب بالصيغة R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2)، حيث mean(y) هو متوسط قيم y. إذا كانت جميع قيم y المرصودة متساوية، يصبح المقام صفرًا ويكون R² غير معرّف. تقسم صيغة RMSE هنا على n، وهي تختلف عن الخطأ المعياري للبواقي الذي يستخدم درجات حرية البواقي في المقام.

مثال محلول

أدخل الأزواج الثلاثة (0, 1) و(1, 4) و(2, 9). يكون المنحنى الملائم ŷ = x^2 + 2*x + 1. عند x = 0، تعطي المعادلة c = 1. ويعطي الزوجان الآخران a + b + 1 = 4 و4*a + 2*b + 1 = 9، ومن ثم a = 1 وb = 2. جميع البواقي الثلاثة صفر، وRMSE يساوي صفرًا، وR² يساوي واحدًا. يمكن لثلاث نقاط ذات قيم x مختلفة أن تحدد منحنى تربيعيًا بدقة، لكن ذلك لا يثبت أن المنحنى سيتنبأ بمشاهدات جديدة جيدًا.

عند x = 1.5، تتنبأ هذه المعادلة بالقيمة 6.25. وعند x = 3، تتنبأ بالقيمة 16، لكن هذه القيمة تقع خارج نطاق x المدخل، لذا فهي استقراء خارج النطاق. قد يرتفع المنحنى التربيعي أو ينخفض بسرعة خارج نطاق القياسات.

لمثال تظهر فيه أخطاء الملاءمة، انظر إلى المشاهدات الخمس التالية:

تستوفي هذه البواقي معادلات تحديد المعاملات بطريقة المربعات الصغرى. مجموع مربعاتها 0.70، ولذلك RMSE = sqrt(0.70/5)، أي نحو 0.3742. ومجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط y = 3 هو 14.70، فيكون R² = 1 - 0.70/14.70، أي نحو 0.9524.

إعداد البيانات وتفسير النتائج

أدخل زوجًا واحدًا في كل سطر غير فارغ. في اللغات التي تستخدم النقطة للفصل العشري، يمكنك الفصل بين x وy بفاصلة أو فاصلة منقوطة أو علامة جدولة أو مسافة، مثل 1.5, 2.25. وفي اللغات التي تستخدم الفاصلة العشرية، افصل القيم بفاصلة منقوطة أو علامة جدولة أو مسافة، مثل 1,5; 2,25. لا تستخدم فواصل الآلاف. يُقبل سطر أول اختياري لأسماء الأعمدة فقط إذا سمّى كلا العمودين بوضوح. يجب أن يحتوي كل سطر آخر غير فارغ على عددين صالحين؛ يُرفض الصف غير الصحيح بدلًا من تجاهله دون تنبيه.

تتطلب الملاءمة التربيعية الوحيدة ثلاث قيم مختلفة لـx على الأقل. يجب ألا تتجاوز القيمة المطلقة لأي قيمة x أو y مدخلة، وكذلك قيمة x للتنبؤ الاختياري، 10^12. يُسمح بتكرار القياسات عند قيمة x واحدة، وتُحسب كل منها مشاهدة منفصلة في الحساب. راجع المنحنى والبواقي إلى جانب R² وRMSE. لا يثبت ارتفاع R² وجود علاقة سببية، ولا يضمن تنبؤات مفيدة، ولا توجد عتبة عامة تصلح للحكم على جودة كل ملاءمة. يشرح NIST تحليل البواقي ضمن التحقق من صلاحية النموذج.

تلائم الحاسبة أزواج القيم في علامة التبويب هذه من المتصفح. تُحفظ بيانات الملاءمة في تخزين الجلسة أثناء التنقل بين الخطوات الثلاث، وتُحذف عند اختيار «البدء من جديد». لا يحتوي رابط الصفحة على أزواج القيم. التنبؤ الاختياري تقدير نقطي من المعادلة الملائمة، ولا يتضمن فترة لعدم اليقين.