حاسبة المتتالية الحسابية

صيغتا المتتالية الحسابية

للمتتالية الحسابية فجوة ثابتة، هي الأساس d، بين الحدود المتتالية. صيغتان تؤديان كل العمل:

الحد النوني: a_n = a₁ + (n − 1) · d
المجموع:    S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

هنا a₁ هو الحد الأول، وd هو المقدار المُضاف في كل خطوة (وقد يكون سالبًا في متتالية متناقصة)، وn هو عدد الحدود التي تعدّها. صيغة المجموع ليست سوى متوسط الحد الأول والحد الأخير، مضروبًا في عدد الحدود.

مثال محلول

لتكن a₁ = 2 و d = 3. المتتالية هي 2، 5، 8، 11، 14، 17، 20، 23، 26، 29 …

لإيجاد الحد العاشر:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

لجمع أول 10 حدود:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

إذن الحد العاشر هو 29 والمجموع التراكمي هو 155.

الحدود والأساس والمجاميع الجزئية

لاحظ أن كل حد يرتفع بمقدار d = 3 تمامًا، وهو سمة المتتالية الحسابية (لا الهندسية). ينمو المجموع الجزئي Sₙ أسرع من الحدود نفسها، لأن كل خطوة تضيف الخط التراكمي بأكمله، لا القيمة الأخيرة وحدها.

تحقق سريع: المجموع يساوي عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد الأول والحد الأخير. وعند n = 10 يكون ذلك 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15.5 = 155، وهو ما يطابق الجدول تمامًا.

أخطاء شائعة

• الخطأ بمقدار واحد في n. تستخدم الصيغة (n − 1)·d لا n·d. الحد الأول لا يُضاف إليه أي أساس، فيكون a₁ = 2 لا 5.
• الخلط بين الحسابية والهندسية. المتتاليات الحسابية تضيف أساسًا ثابتًا d؛ أما المتتاليات الهندسية فتضرب في نسبة ثابتة. إذا ظلت الفجوات تتضاعف، فأنت بحاجة إلى أداة المتتالية الهندسية بدلًا من ذلك.
• الأساس السالب مقبول تمامًا. أساس قدره d = −4 يعطي متتالية متناقصة؛ وتبقى الصيغتان نفساهما سارية.