حاسبة إكمال المربع

مثال محلول: 2x² + 8x + 5

الخطوة 1، أخرج العامل a = 2 من حدود x: 2(x² + 4x) + 5

الخطوة 2، نصف العدد 4 هو 2، ومربعه 4. أضف 4 واطرحها داخل القوس: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

الخطوة 3، قسّم إلى مربع كامل والباقي: 2((x + 2)² − 4) + 5

الخطوة 4، وزّع العامل 2: 2(x + 2)² − 8 + 5

الخطوة 5، بسّط الثابت: 2(x + 2)² − 3

صيغة الرأس: a = 2، h = −2، k = −3 → الرأس عند (−2، −3).

الصيغة العامة

بالنسبة إلى ax² + bx + c:

• h = −b / (2a)
• k = c − b² / (4a)
• صيغة الرأس: a(x − h)² + k

لماذا نُكمل المربع؟

• إيجاد الرأس فورًا لرسم القطع المكافئ.
• حل المعادلات التربيعية دون استخدام الصيغة التربيعية، مفيد بشكل خاص للجذور غير النسبية.
• اشتقاق الصيغة التربيعية نفسها: إكمال المربع على ax² + bx + c = 0 يُنتج x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• حساب التفاضل والتكامل: إيجاد القيم القصوى للدوال التربيعية دون اشتقاق.
• حركة المقذوفات: أقصى ارتفاع لكرة مقذوفة لأعلى هو قيمة k في صيغة الرأس لمعادلة الارتفاع.
• الدوائر والقطوع المخروطية: إكمال المربع على حدّي x وy يحوّل x² + y² + Dx + Ey + F = 0 إلى (x−h)² + (y−k)² = r²، مما يجعل المركز ونصف القطر واضحَين.

هندسة القطع المكافئ من صيغة الرأس

• الرأس: (h, k).
• محور التماثل: x = h.
• يفتح لأعلى إذا كان a > 0، ولأسفل إذا كان a < 0.
• القيمة العظمى أو الصغرى للدالة: k.
• العرض: أضيق عندما |a| > 1، وأوسع عندما |a| < 1.
• الجذور (إن كانت حقيقية): x = h ± √(−k/a). حقيقية فقط عندما يكون k/a ≤ 0.

أخطاء شائعة

• نسيان توزيع a بعد إكمال المربع داخل القوسين، إذ يتغيّر حدّ التصحيح.
• أخطاء الإشارة في b/(2a): h = −b/(2a) وليس +b/(2a).
• عدم تنصيف المعامل الأوسط قبل التربيع. العبارة المتعارف عليها هي «نصف b على a، ثم نُربّعه».
• ترك a ≠ 1 دون معالجة: أخرجه عاملًا أولًا دائمًا لتبسيط الحل.

حالة خاصة: a = 1

عندما يكون a = 1، تتبسّط العملية:

• x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
• h = −b/2، k = c − b²/4

k السالبة تعني وجود جذور حقيقية

إذا كانت إشارة k معاكسة لإشارة a، فإن القطع المكافئ يقطع المحور x. حُلّ a(x − h)² = −k لإيجاد هذه الجذور.