حاسبة الضرب الاتجاهي

الصيغة

بالنسبة للمتجهين A = (ax, ay, az) وB = (bx, by, bz)، يكون الضرب الاتجاهي:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

كل مركّبة هي محدِّد 2×2 للمحورين الآخرين، مع عكس إشارة الحد الأوسط. ومن الوسائل المفيدة للحفظ نشر المحدِّد على امتداد متجهات الوحدة i وj وk.

مثال محلول

لنأخذ A = (1, 2, 3) وB = (4, 5, 6):

• x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
• y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
• z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

إذن A × B = (−3, 6, −3). ومقداره هو √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7.348. ويمكنك التحقق من أن النتيجة عمودية: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

الخصائص الرئيسية

أخطاء شائعة

• الترتيب مهم. تبديل المتجهين يعكس إشارة كل مركّبة، لأن الضرب الاتجاهي غير تبديلي.
• الضرب الاتجاهي معرَّف في ثلاثة أبعاد فقط. خلافًا للضرب القياسي، فإن A × B معرَّف للمتجهات ثلاثية الأبعاد (يوجد نظير في سبعة أبعاد لكنه نادر الاستخدام). أما المتجهات ثنائية الأبعاد، فأكمل المركّبة z الناقصة بالقيمة 0.
• إشارة الحد الأوسط. المركّبة y هي az·bx − ax·bz وليست ax·bz − az·bx: إذ يُطرح الحد j في نشر المحدِّد، وهنا تحديدًا تقع معظم الأخطاء عند الحساب يدويًا.
• المتجهات المتوازية تعطي صفرًا. إذا أشار A وB في الاتجاه نفسه (θ = 0) فإن النتيجة هي المتجه الصفري، لأن sin(0) = 0.