حاسبة محدِّد المصفوفة

ما الذي يُخبرك به المحدِّد

• غير صفري: المصفوفة قابلة للعكس؛ أعمدتها مستقلة خطيًا؛ وتُعرِّف تطبيقًا خطيًا تقابليًا.
• صفري: المصفوفة شاذة (منفردة)؛ أعمدتها مرتبطة خطيًا؛ ويُلغي التطبيق بُعدًا واحدًا على الأقل.
• الإشارة: الموجبة تعني أن التطبيق الخطي يحافظ على الاتجاه؛ والسالبة تعني أنه يعكسه (كصورة في المرآة).
• المقدار: |det(A)| هو المعامل الذي يُكبِّر به التطبيق الحجم ذا الأبعاد n. مصفوفة 2×2 محدِّدها 3 تُكبِّر المساحات ثلاث مرات؛ ومحدِّد −2 يُكبِّر المساحات مرتين ويعكسها.

الحالات الصغيرة: احسبها يدويًا

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (قاعدة ساروس):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) للمصفوفة [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

الحالات الأكبر: استخدم LU

يتطلب الحساب اليدوي لمحدِّد 4×4 عبر النشر بالعوامل المرافقة 4! = 24 عملية ضرب. أما 6×6 فتتطلب 720. ويُقلّص تحليل LU العمل إلى O(n³): حلِّل A = LU حيث L مصفوفة مثلثية سفلية على قطرها آحاد، وU مصفوفة مثلثية علوية؛ عندئذٍ det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

خصائص جديرة بالمعرفة

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) لمصفوفة n×n.
• تبديل صفين يعكس إشارة المحدِّد.
• إضافة مضاعف لأحد الصفوف إلى صف آخر لا يُغيّر المحدِّد.
• إذا كان أي صف (أو عمود) أصفارًا بالكامل، فإن المحدِّد يساوي صفرًا.

الأخطاء الشائعة

• نسيان نمط الإشارات في النشر بالعوامل المرافقة: + − + − + − .... العامل المرافق (i,j) يساوي (−1)^(i+j) مضروبًا في المحدِّد الأصغر.
• النشر على طول صف بعناصر غير صفرية بينما يوجد صف فيه ثلاثة أصفار. اختر الصف أو العمود ذا العدد الأكبر من الأصفار لتسهيل العمل.
• افتراض أن det(A+B) = det(A) + det(B). هذا غير صحيح؛ فالمحدِّد ضربي وليس جمعيًّا.