حاسبة معكوس المصفوفة

متى يوجد المعكوس

المصفوفة المربعة A قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان det(A) ≠ 0. شروط مكافئة:

• الأعمدة مستقلة خطيا.
• الصفوف مستقلة خطيا.
• الفضاء الصفري تافه (المتجه الصفري فقط).
• لـ A رتبة كاملة (الرتبة = n).
• للنظام الخطي Ax = b حل وحيد لكل b.

اختصار 2×2

لـ A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

بدّل القطر، اعكس إشارة عناصر خارج القطر، اقسم على المحدِّد.

غاوس-جوردان في صورة واحدة

البداية: [A | I].

النهاية: [I | A^−1].

عمليات الصف التي تحوّل A إلى I، حين تُطبّق على I، تحوّلها إلى A^−1.

لماذا تهم المحورة الجزئية

بدونها، تختار الخوارزمية عنصر القطر في الصف الحالي محورا. إذا كان ذلك العنصر صفرا أو ضئيلا، تنفجر القسمة. تبدّل المحورة الجزئية بالصف ذي المحور الأكبر بالقيمة المطلقة، فتجعل الحساب مستقرا عدديا.

التحقق من نتيجتك

اضرب A · A^−1. ينبغي أن تحصل على مصفوفة الوحدة (ضمن خطأ عددي ضئيل). إذا رأيت عناصر تنحرف ملحوظا عن 1 على القطر أو عن 0 في غيره، فالمصفوفة شبه شاذة والمعكوس العددي غير موثوق، موجود نظريا لكن الجواب المحسوب قد يخطئ بمنازل كثيرة.

مثال محلول 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

• det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (غير صفري، قابل للعكس).
• بدّل واعكس الإشارة: [[6, −7], [−2, 4]].
• اقسم على 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
• تحقّق: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

نصائح

• استخدم حسابا دقيقا للمصفوفات الصغيرة (2×2، 3×3) للحصول على كسور نظيفة. الأعداد العائمة تُدخل تقريبا حتى لمدخلات صحيحة بسيطة.
• لا تعكس لحل Ax = b في كود الإنتاج. اختزل النظام الموسّع [A | b] بدلا من ذلك؛ الحل أسرع وأكثر استقرارا من العكس ثم الضرب.
• رقم الشرط. إذا كان cond(A) كبيرا (مثلا >10^10 بدقة مزدوجة)، فالمعكوس العددي غير جدير بالثقة وإن كان موجودا.