Softonic

آلة حساب ضرب المصفوفات

خطوة 1 / 3
التالي

أدخل المصفوفة A (بأبعاد m×n) والمصفوفة B (بأبعاد n×p). إذا تطابق عدد أعمدة A مع عدد صفوف B، فإن الآلة الحاسبة تُرجع الناتج AB، وهو مصفوفة بأبعاد m×p. كل عنصر في الناتج هو الضرب النقطي لصف من A مع عمود من B، وتعرض الأداة كل مجموع من مجاميع الضرب النقطي هذه بوضوح، بحيث يمكنك متابعة الخطوات الجبرية دون أن تأخذ أي شيء على أنه مُسلَّم به.

كيف يعمل ضرب المصفوفات

  1. 1

    حدّد الأبعاد

    صفوف وأعمدة A وB. يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B.

  2. 2

    أدخل القيم

    املأ كل خلية؛ الأرقام العشرية والقيم السالبة مقبولة.

  3. 3

    اقرأ الناتج

    C = A·B، والأبعاد هي عدد صفوف (A) × عدد أعمدة (B).

  4. 4

    وسّع خلية واحدة

    اضغط على أي عنصر C_ij لرؤية الضرب النقطي row_i(A) · col_j(B) مع سرد كل جداء على حدة.

القاعدة

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

العنصر (i, j) من الناتج هو مجموع الجداءات التي تقرن الصف i من A بالعمود j من B.

مثال محلول 2×2

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

تحقق من الترتيب العكسي: BA = [[23, 34], [31, 46]]. إنه لا يساوي AB، فضرب المصفوفات ليس تبديلياً.

توافق الأبعاد

أبعاد A أبعاد B متوافقة؟ أبعاد الناتج
2×3 3×4 نعم 2×4
3×3 3×3 نعم 3×3
2×3 4×3 لا -
1×n n×1 نعم 1×1 (قياسي)
n×1 1×n نعم n×n (الضرب الخارجي)

الخصائص

  • التجميعية: A(BC) = (AB)C.
  • التوزيعية: A(B + C) = AB + AC.
  • ليست تبديلية: بوجه عام AB ≠ BA.
  • العنصر المحايد: AI = IA = A، حيث I هي مصفوفة الوحدة ذات الحجم المناسب.
  • المصفوفة الصفرية: A · 0 = 0، لكن انتبه، فكون AB = 0 لا يعني أن A = 0 أو B = 0.

لماذا يهمّ الترتيب في التطبيقات

  • رسوميات الحاسوب: تتركّب مصفوفات التحويل من اليمين إلى اليسار. M_screen = M_projection · M_view · M_model. تبديل التحجيم والتدوير يعطي نتيجة مختلفة.
  • الدورانات: الدوران حول المحور X ثم حول Y ليس كالدوران حول Y ثم حول X.
  • سلاسل ماركوف: ضرب مصفوفة الانتقال في متجه الحالة يتقدّم خطوة واحدة؛ وتبديل الترتيب لا معنى له.

التعقيد الحسابي

يتطلّب الضرب المدرسي القياسي لمصفوفتين n×n عدداً من العمليات مقداره O(n³). تخفضه خوارزمية شتراسن إلى O(n^2.81)، والحدود النظرية أدنى من ذلك أيضاً، لكن بالنسبة للمصفوفات التي يقل حجمها عن بضع مئات، تبقى الطريقة المدرسية الأسرع عملياً بفضل أنماط الوصول الملائمة للذاكرة المؤقتة.

الأسئلة الشائعة

يجب أن يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف الثانية. العملية 2×3 · 2×3 تفشل لأن A لها 3 أعمدة بينما B لها صفان فقط. عليك أخذ منقول B: فالعملية 2×3 · 3×2 صحيحة وتنتج مصفوفة 2×2.

لضرب عدد قياسي في مصفوفة، استخدم آلة حساب المصفوفات العامة، فهذه الأداة مخصّصة لضرب مصفوفتين معاً.

لأن كل عنصر في AB هو ضرب نقطي لصف من A مع عمود من B؛ وبتبديل الترتيب تُضرب صفوف مختلفة بأعمدة مختلفة. ولا تتبادل إلا أزواج خاصة (المصفوفة ومعكوسها، والمصفوفة ومصفوفة الوحدة، والمصفوفات القُطرية ذات العناصر المتمايزة).

نعم. صف بأبعاد 1×n مضروب في عمود بأبعاد n×1 يعطي عدداً قياسياً 1×1 (ضرب نقطي). أما العكس، أي n×1 مضروب في 1×n، فينتج ضرباً خارجياً n×n، وهو مصفوفة رتبتها 1.

لا. يجري الضرب داخل متصفحك؛ ولا تغادر القيم جهازك أبداً.

أدوات ذات صلة

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI

احسب مؤشر كتلة الجسم من الطول والوزن. يعرض التصنيف حسب منظمة الصحة العالمية، ونطاق الوزن الصحي، وحدود استخدام BMI.

حاسبة الأيام المتبقية في السنة

احسب الأيام التقويمية من أي تاريخ مرجعي حتى 31 ديسمبر، واختر تضمين تاريخ البداية أو استبعاده، واعرف الأسابيع الكاملة وتقدم السنة.

حاسبة طول السير

احسب طول السير المفتوح المرجعي الدقيق عند خط الخطوة أو القطر المرجعي أو الفعّال من قطري البكرتين والمسافة بين المحورين.

محوّل الأيام إلى أشهر

حوّل عددًا من الأيام إلى أشهر وأسابيع وسنوات باستخدام متوسط طول الشهر البالغ 30.437 يومًا، جاهزًا للتخطيط والتقديرات.

حاسبة سعة المحرك

احسب سعة المحرك من قطر الأسطوانة والشوط وعدد الأسطوانات. احصل على الإجمالي بوحدة cc واللترات والبوصات المكعبة إضافةً إلى الحجم لكل أسطوانة فوراً في متصفحك.

الأداة متاحة بلغات أخرى