حاسبة الاحتمال ذي الحدين
عند وجود n من تجارب برنولي المستقلة باحتمال نجاح p، يخبرك التوزيع ذو الحدين كم مرة سترى بالضبط k نجاحات. تتعامل الحاسبة مع الاحتمال الدقيق P(X = k)، والتراكمي P(X ≤ k)، والذيل العلوي P(X ≥ k)، والمتوسط والتباين دفعة واحدة، وكلها بحسابات توافقية مبنية على لوغاريتم دالة غاما حتى تبقى دقيقة حتى عند n = 10,000.
كيفية حساب الاحتمال ذي الحدين
-
1
أدخل n (عدد التجارب)
يجب أن يكون عددا صحيحا غير سالب. قيم نموذجية: 10 رميات عملة، 100 زائر لاختبار A/B، 10,000 عينة تصنيع.
-
2
أدخل p (احتمال النجاح)
قيمة بين 0 و1. لعملة عادلة p = 0.5؛ ولمعدل نقر 12% تكون p = 0.12.
-
3
أدخل k (عدد النجاحات الهدف)
عدد صحيح من 0 إلى n.
-
4
اقرأ الاحتمالات
P(X = k) الدقيق، والذيل الأيسر P(X ≤ k)، والذيل الأيمن P(X ≥ k)، إضافة إلى المتوسط = np والتباين = np(1-p).
الصيغة
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)
حيث C(n, k) هو المعامل الثنائي، أي «عدد طرق اختيار k من n». تستخدم الأداة الحساب في الفضاء اللوغاريتمي عبر دالة غاما لتجنب الطفحان العددي عندما تكون n كبيرة.
مثال محلول: 10 رميات عملة، بالضبط 7 صور
- n = 10, p = 0.5, k = 7
- C(10, 7) = 120
- P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172
إذن سترى بالضبط 7 صور في 10 رميات نحو 11.7% من الوقت.
متى ينطبق التوزيع ذو الحدين
يجب أن تتحقق افتراضات برنولي الأربعة كلها:
- عدد ثابت من التجارب (n محددة مسبقا).
- كل تجربة مستقلة عن غيرها.
- نتيجتان فقط لكل تجربة (نجاح / فشل).
- احتمال نجاح ثابت p عبر التجارب.
إذا انكسر أي افتراض (سحوبات تابعة بلا إرجاع، p متغيرة، أكثر من نتيجتين)، فاتجه إلى التوزيع فوق الهندسي أو توزيع بواسون ذي الحدين أو التوزيع المتعدد بدلا منه.
المتوسط والتباين والتقريب الطبيعي
- المتوسط: μ = np
- التباين: σ² = np(1-p)
- الانحراف المعياري: σ = √(np(1-p))
عندما np ≥ 10 وn(1-p) ≥ 10، يقرب التوزيع ذو الحدين جيدا بالتوزيع الطبيعي Normal(μ, σ²) مع تصحيح الاستمرارية. تنبه الحاسبة إلى هذه الحالة حتى تستطيع الانتقال إلى اختصار درجة z عند الحاجة.
الأسئلة الشائعة
P(X = k) هو احتمال k نجاحات بالضبط؛ وP(X ≤ k) هو الاحتمال التراكمي لما لا يزيد عن k. في 10 رميات لعملة عادلة، P(X = 5) ≈ 0.246 لكن P(X ≤ 5) ≈ 0.623.
نعم. تعيد الحاسبة P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). أما “أكثر من k”، فاطرح واحدا إضافيا: P(X > k) = P(X ≥ k+1).
حتى 100,000 مستقرة بفضل الحساب عبر لوغاريتم دالة غاما. بعد ذلك، استخدم التقريب الطبيعي أو تقريب بواسون (صالح عندما تكون p صغيرة وn كبيرة).
حينها تحتاج توزيع بواسون ذي الحدين، وليس التوزيع ذي الحدين البسيط. تفترض هذه الحاسبة p ثابتة واحدة عبر كل تجارب n.
أدوات ذات صلة
حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI
احسب مؤشر كتلة الجسم من الطول والوزن. يعرض التصنيف حسب منظمة الصحة العالمية، ونطاق الوزن الصحي، وحدود استخدام BMI.
حاسبة العمر
احسب العمر الدقيق بالسنوات والشهور والأيام من تاريخ الميلاد، مع إجمالي الأيام والساعات والعد التنازلي لعيد الميلاد القادم.
حاسبة المعدل التراكمي
احسب المعدل التراكمي من الدرجات الحرفية والساعات المعتمدة. تدعم مقياسي الولايات المتحدة 4.0 و5.0 للمقررات المتقدمة مع جدول الحروف القياسي A/B/C/D.
حاسبة السعرات الحرارية
قدّر احتياجك اليومي من السعرات لهدفك باستخدام BMR بمعادلة Mifflin-St Jeor وعوامل النشاط. يشمل أهداف العجز والفائض.
حاسبة الادخار
قدّر القيمة المستقبلية لمدخراتك انطلاقًا من رصيد أولي، وإيداعات منتظمة، ومعدل سنوي، ومدة تختارها، مع احتساب الفائدة المركبة شهريًا أو سنويًا أو حسب التكرار الذي تريده.
حاسبة علم الأعداد
احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.