Softonic

حاسبة القيم الذاتية

خطوة 1 / 4 المصفوفة A
الصف الأول
التالي

استخدم حاسبة القيم الذاتية هذه لحل مصفوفة حقيقية 2×2 انطلاقًا من عناصرها الأربعة. تحسب الأداة الأثر والمحدِّد وكثير الحدود المميِّز، ثم تحسب المميِّز Δ والقيم الذاتية، وتعرض المتجهات الذاتية الحقيقية عندما تكون القيمتان الذاتيتان مختلفتين وحقيقيتين. وهي مصمَّمة لواجبات الجبر الخطي، وللتحقق السريع في النماذج الهندسية، ولمراجعة النتيجة قبل قطر مصفوفة صغيرة يدويًا.

كيف تجد القيم الذاتية

  1. 1

    أدخل عناصر المصفوفة

    املأ a وb وc وd للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]. الأعداد العشرية والقيم السالبة مقبولة.

  2. 2

    كوِّن المعادلة المميِّزة

    تستخدم الحاسبة الأثر T = a + d والمحدِّد D = ad - bc لتكوين المعادلة λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    صنِّف الجذور

    يحدد المميِّز T² - 4D ما إذا كانت القيم الذاتية عددين حقيقيين مختلفين، أم جذرًا مكررًا، أم زوجًا مركبًا مترافقًا.

صيغة المصفوفة 2×2

من أجل A = [[a, b], [c, d]]، القيم الذاتية هي جذور المعادلة:

det(A - λI) = 0

وبنشر هذا المحدِّد نحصل على:

λ² - Tλ + D = 0

حيث:

  • T = a + d هو الأثر.
  • D = ad - bc هو المحدِّد.
  • Δ = T² - 4D هو المميِّز.

ومن ثمَّ:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

مثال محلول

من أجل A = [[2, 1], [1, 2]]، الأثر هو T = 2 + 2 = 4 والمحدِّد هو D = 2·2 - 1·1 = 3. وكثير الحدود المميِّز هو:

λ² - 4λ + 3 = 0

المميِّز يساوي Δ = 4² - 4·3 = 4، وبالتالي القيم الذاتية هي:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

للقيمة الذاتية 3 أحد المتجهات الذاتية هو [1, 1]، وللقيمة الذاتية 1 أحد المتجهات الذاتية هو [1, -1]. وأي مضاعف قياسي غير صفري لهذين المتجهين يُعد كذلك متجهًا ذاتيًا صحيحًا.

ماذا يعني المميِّز

المميِّز Δ حالة القيم الذاتية ما الذي تتوقعه
Δ > 0 قيمتان ذاتيتان حقيقيتان جذران حقيقيان مختلفان، وفي المصفوفة 2×2 يوجد متجهان ذاتيان مستقلان عندما تكون المصفوفة قابلة للقطر على الأعداد الحقيقية.
Δ = 0 قيمة ذاتية مكررة جذر مكرر واحد. قد يكون بُعد الفضاء الذاتي واحدًا أو اثنين، لذا تحقق من المتجهات الذاتية على حدة إذا كان القطر مهمًا لك.
Δ < 0 زوج مركب مترافق لا توجد قيم ذاتية حقيقية. للجذرين الجزء الحقيقي نفسه وجزآن تخيليان متعاكسان.

أخطاء شائعة

  • كتابة A - λI بشكل خاطئ. لا تتغير سوى عناصر القطر: a - λ وd - λ.
  • نسيان إشارة المحدِّد. في المصفوفة 2×2 يكون D = ad - bc، وليس ad + bc.
  • اعتبار القيمة الذاتية المكررة قابلة للقطر تلقائيًا. الجذر المكرر يحتاج مع ذلك إلى عدد كافٍ من المتجهات الذاتية المستقلة.
  • التقريب في وقت مبكر. أبقِ الأثر والمحدِّد والمميِّز بقيم دقيقة أطول فترة ممكنة، خصوصًا مع الأعداد العشرية.

الأسئلة الشائعة

تركز الأداة على المصفوفات الحقيقية 2×2، وهذا يبقي النتيجة واضحة: كل قيمة مشتقة من الأثر والمحدِّد وكثير الحدود المميِّز من الدرجة الثانية.

نعم. إذا كان المميِّز T² - 4D سالبًا، فإن القيم الذاتية تشكل زوجًا مركبًا مترافقًا. ومصفوفة الدوران مثل [[0, -1], [1, 0]] هي المثال المعتاد على ذلك.

تعرض الحاسبة المتجهات الذاتية عندما تكون القيم الذاتية الحقيقية مختلفة، إذ يمكن حينها عرض متجه حقيقي بسيط لكل جذر. أما الحالتان المكررة والمركبة فتحتاجان إلى سياق إضافي، لذا تركز الأداة هناك على القيم الذاتية وتصنيفها.

لا يوجد أي رفع للملفات. تُعالَج العناصر داخل مكوِّن الصفحة لإنتاج الأثر والمحدِّد وكثير الحدود والقيم الذاتية.

أدوات ذات صلة

حاسبة توافق الأسماء

أدخل اسمين لتحصل على درجة توافق طريفة ورقم علم الأعداد الفيثاغوري لكل اسم. تقرأ الأداة الأبجدية اللاتينية (A إلى Z) فقط، لذا انقل الاسم العربي حرفيا إلى اللاتينية أولا.

حاسبة علم الأعداد

احسب أرقام علم الأعداد المرتبطة بالاسم وفق القيم الفيثاغورية أو الكلدانية: التعبير، رغبة الروح والشخصية.

حاسبة الوقت قبل ساعات

حدد التاريخ والوقت الدقيقين اللذين كانا قبل عدد معين من الساعات من الآن.

حاسبة الرقم الهيدروجيني (pH)

احسب pH وpOH من تركيز أيونات الهيدروجين أو الهيدروكسيد، أو حوّل pH إلى [H⁺] و[OH⁻]، بافتراض درجة حرارة 25 °م.

حاسبة الأيام المتبقية في السنة

احسب الأيام التقويمية من أي تاريخ مرجعي حتى 31 ديسمبر، واختر تضمين تاريخ البداية أو استبعاده، واعرف الأسابيع الكاملة وتقدم السنة.

حاسبة التمثيل الغذائي

قم بتقدير معدل التمثيل الغذائي الأساسي (BMR) وإجمالي الإنفاق الطاقي اليومي (TDEE) بناءً على العمر والجنس والوزن والطول ومستوى النشاط البدني.

الأداة متاحة بلغات أخرى