حاسبة القيم الذاتية
استخدم حاسبة القيم الذاتية هذه لحل مصفوفة حقيقية 2×2 انطلاقًا من عناصرها الأربعة. تحسب الأداة الأثر والمحدِّد وكثير الحدود المميِّز، ثم تحسب المميِّز Δ والقيم الذاتية، وتعرض المتجهات الذاتية الحقيقية عندما تكون القيمتان الذاتيتان مختلفتين وحقيقيتين. وهي مصمَّمة لواجبات الجبر الخطي، وللتحقق السريع في النماذج الهندسية، ولمراجعة النتيجة قبل قطر مصفوفة صغيرة يدويًا.
كيف تجد القيم الذاتية
-
1
أدخل عناصر المصفوفة
املأ a وb وc وd للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]. الأعداد العشرية والقيم السالبة مقبولة.
-
2
كوِّن المعادلة المميِّزة
تستخدم الحاسبة الأثر T = a + d والمحدِّد D = ad - bc لتكوين المعادلة λ² - Tλ + D = 0.
-
3
صنِّف الجذور
يحدد المميِّز T² - 4D ما إذا كانت القيم الذاتية عددين حقيقيين مختلفين، أم جذرًا مكررًا، أم زوجًا مركبًا مترافقًا.
صيغة المصفوفة 2×2
من أجل A = [[a, b], [c, d]]، القيم الذاتية هي جذور المعادلة:
det(A - λI) = 0
وبنشر هذا المحدِّد نحصل على:
λ² - Tλ + D = 0
حيث:
T = a + dهو الأثر.D = ad - bcهو المحدِّد.Δ = T² - 4Dهو المميِّز.
ومن ثمَّ:
λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2
مثال محلول
من أجل A = [[2, 1], [1, 2]]، الأثر هو T = 2 + 2 = 4 والمحدِّد هو D = 2·2 - 1·1 = 3. وكثير الحدود المميِّز هو:
λ² - 4λ + 3 = 0
المميِّز يساوي Δ = 4² - 4·3 = 4، وبالتالي القيم الذاتية هي:
λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3
λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1
للقيمة الذاتية 3 أحد المتجهات الذاتية هو [1, 1]، وللقيمة الذاتية 1 أحد المتجهات الذاتية هو [1, -1]. وأي مضاعف قياسي غير صفري لهذين المتجهين يُعد كذلك متجهًا ذاتيًا صحيحًا.
ماذا يعني المميِّز
| المميِّز Δ | حالة القيم الذاتية | ما الذي تتوقعه |
|---|---|---|
| Δ > 0 | قيمتان ذاتيتان حقيقيتان | جذران حقيقيان مختلفان، وفي المصفوفة 2×2 يوجد متجهان ذاتيان مستقلان عندما تكون المصفوفة قابلة للقطر على الأعداد الحقيقية. |
| Δ = 0 | قيمة ذاتية مكررة | جذر مكرر واحد. قد يكون بُعد الفضاء الذاتي واحدًا أو اثنين، لذا تحقق من المتجهات الذاتية على حدة إذا كان القطر مهمًا لك. |
| Δ < 0 | زوج مركب مترافق | لا توجد قيم ذاتية حقيقية. للجذرين الجزء الحقيقي نفسه وجزآن تخيليان متعاكسان. |
أخطاء شائعة
- كتابة
A - λIبشكل خاطئ. لا تتغير سوى عناصر القطر:a - λوd - λ. - نسيان إشارة المحدِّد. في المصفوفة 2×2 يكون
D = ad - bc، وليسad + bc. - اعتبار القيمة الذاتية المكررة قابلة للقطر تلقائيًا. الجذر المكرر يحتاج مع ذلك إلى عدد كافٍ من المتجهات الذاتية المستقلة.
- التقريب في وقت مبكر. أبقِ الأثر والمحدِّد والمميِّز بقيم دقيقة أطول فترة ممكنة، خصوصًا مع الأعداد العشرية.
الأسئلة الشائعة
تركز الأداة على المصفوفات الحقيقية 2×2، وهذا يبقي النتيجة واضحة: كل قيمة مشتقة من الأثر والمحدِّد وكثير الحدود المميِّز من الدرجة الثانية.
نعم. إذا كان المميِّز T² - 4D سالبًا، فإن القيم الذاتية تشكل زوجًا مركبًا مترافقًا. ومصفوفة الدوران مثل [[0, -1], [1, 0]] هي المثال المعتاد على ذلك.
تعرض الحاسبة المتجهات الذاتية عندما تكون القيم الذاتية الحقيقية مختلفة، إذ يمكن حينها عرض متجه حقيقي بسيط لكل جذر. أما الحالتان المكررة والمركبة فتحتاجان إلى سياق إضافي، لذا تركز الأداة هناك على القيم الذاتية وتصنيفها.
لا يوجد أي رفع للملفات. تُعالَج العناصر داخل مكوِّن الصفحة لإنتاج الأثر والمحدِّد وكثير الحدود والقيم الذاتية.
أدوات ذات صلة
حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI
احسب مؤشر كتلة الجسم من الطول والوزن. يعرض التصنيف حسب منظمة الصحة العالمية، ونطاق الوزن الصحي، وحدود استخدام BMI.
حاسبة دفعات HELOC
احسب دفعة HELOC الشهرية في فترة السحب بفوائد فقط وفترة السداد المقسطة حسب الرصيد ومعدل APR والمدة.
حاسبة المعدل التراكمي
احسب المعدل التراكمي من الدرجات الحرفية والساعات المعتمدة. تدعم مقياسي الولايات المتحدة 4.0 و5.0 للمقررات المتقدمة مع جدول الحروف القياسي A/B/C/D.
حاسبة ضريبة القيمة المضافة وضريبة المبيعات
احسب الضريبة على مبلغ غير شامل للضريبة، أو استخرج الضريبة المضمنة في سعر شامل. مناسبة لضريبة القيمة المضافة وGST وضريبة المبيعات.
حاسبة العمر
احسب العمر الدقيق بالسنوات والشهور والأيام من تاريخ الميلاد، مع إجمالي الأيام والساعات والعد التنازلي لعيد الميلاد القادم.
حاسبة السعرات الحرارية
قدّر احتياجك اليومي من السعرات لهدفك باستخدام BMR بمعادلة Mifflin-St Jeor وعوامل النشاط. يشمل أهداف العجز والفائض.