حاسبة طول المنحنى اللولبي

صيغة طول المنحنى اللولبي الدائري

للمنحنى اللولبي الدائري نصف قطر ثابت لخط المنتصف وارتفاع محوري ثابت في كل دورة. عند فرد لفة كاملة يصبح المسار وتر مثلث قائم: ضلع بطول المسافة الدائرية 2πR والآخر بطول الخطوة المحورية p.

باستخدام نصف قطر خط المنتصف R، وقطره D = 2R، والخطوة لكل لفة p، وعدد اللفات N:

• circumference C = 2πR = πD
• length per turn ℓ = √(C² + p²)
• total helix length L = N × √((2πR)² + p²)
• total rise H = N × p
• helix angle α = atan(p ÷ C)

تقاس الزاوية من المستوى العمودي على محور اللولب؛ وكلما زادت الخطوة ازداد ميل المسار. للولبين الأيمن والأيسر الطول نفسه إذا تساوى نصف القطر ومقدار الخطوة وعدد اللفات.

إذا أُدخل الارتفاع الكلي H بدلاً من اللفات:

• N = H ÷ p
• L = √((2πRN)² + H²)

هاتان صورتان متكافئتان للصيغة نفسها. استخدم وحدات طول متوافقة لـ R وD وp وH وL؛ أما عدد اللفات فبلا وحدة.

مثال محلول لثلاث لفات

لنفترض أن قطر خط المنتصف 10 mm، والخطوة 5 mm لكل لفة، وعدد اللفات 3.

1. المحيط: C = π × 10 = 31٫4159265 mm
2. طول اللفة: ℓ = √(31٫4159265² + 5²) = 31٫8113257 mm
3. الطول الكلي: L = 3 × 31٫8113257 = 95٫4339770 mm
4. الارتفاع الكلي: H = 3 × 5 = 15 mm
5. زاوية اللولب: α = atan(5 ÷ 31٫4159265) ≈ 9٫043061°

يبلغ طول خط المنتصف نحو 95٫434 mm، وهو أكبر من ثلاثة أمثال المحيط لأن كل لفة ترتفع أيضاً بمقدار 5 mm.

مثال محلول للفة جزئية

استخدم قطر خط منتصف 8 cm وخطوة 2 cm و0٫25 لفة.

• C = π × 8 = 25٫1327412 cm
• ℓ = √(25٫1327412² + 2²) = 25٫2121931 cm
• L = 0٫25 × 25٫2121931 = 6٫3030483 cm
• H = 0٫25 × 2 = 0٫5 cm

طول مسار ربع اللفة نحو 6٫30305 cm وارتفاعه 0٫5 cm. لا يلزم أن يكون عدد اللفات صحيحاً ما دامت الخطوة تعني ارتفاع دورة كاملة.

قطر خط المنتصف وملفات النوابض

تتبع الصيغة خط منتصف اللولب. للملف المصنوع من سلك دائري استخدم القطر المتوسط Dmean المار بمركز السلك:

• Dmean = outside diameter − wire diameter
• Dmean = inside diameter + wire diameter

استخدام القطر الخارجي مباشرةً يعطي مساراً أطول من الحقيقة، واستخدام الداخلي يعطي مساراً أقصر. تشمل النتيجة الجسم اللولبي المنتظم الموصوف فقط؛ فقد يضم النابض الحقيقي لفات طرفية غير فعالة وخطافات وحلقات ونهايات مجلخة وانحناءات انتقالية وأجزاء مستقيمة وسماحات تصنيع. أضفها من رسم مناسب أو مواصفة عملية مؤهلة. لا تحدد الحاسبة ثابت النابض أو الحمل أو الإجهاد أو عمر الكلال أو الانبعاج أو ملاءمة المادة أو طول القطع الدقيق.

ليست كل المسارات المنحنية أو الملفوفة منحنى لولبياً

الحلزون الأرخميدي المستوي ليس منظراً علوياً للولب دائري؛ فنصف قطره يزداد مع الزاوية، ولذلك لا تنطبق صيغة نصف القطر الثابت. في وضع اللفات تُقبل الخطوة الصفرية كحالة حدية لدائرة يُعاد تتبعها، لا كلولب ثلاثي الأبعاد. ويتطلب وضع الارتفاع الكلي خطوة وارتفاعاً موجبين لتعريف عدد اللفات.

النطاق والقيود

تفترض الحاسبة خط منتصف دائرياً مثالياً ثابت نصف القطر والخطوة. ولا تغطي اللوالب المدببة أو المخروطية أو الإهليلجية، ولا الخطوة المتغيرة أو الملفات المشوهة أو المنحنيات الخطية الاعتباطية. يجب أن تصف القياسات خط المنتصف نفسه وأن تستخدم وحدات متوافقة، كما يلزم تحديد نصف قطر مرجعي واضح لمسارات السطح حول أسطوانة سميكة.

في القطع المصنعة والسلالم والدرابزين واللوالب الناقلة والقلاوظ والنوابض والأنابيب والعناصر الإنشائية، ليست الهندسة إلا أحد مدخلات التصميم الآمن. تتطلب السماحات وسلوك الثني وتفاصيل الأطراف والتفاوتات والأحمال وخواص المواد والوصلات والمعايير المعمول بها إرشاداً هندسياً أو تصنيعياً مناسباً. لا تعتبر طول خط المنتصف اعتماداً للتصميم أو كمية شراء مضمونة.

مراجع تقنية رسمية

• OpenStax Calculus Volume 3: طول القوس والانحناء: يشتق صيغة طول القوس المتجهي ويطبقها على لولب دائري.
• OpenStax Calculus Volume 2: طول القوس في الإحداثيات القطبية: يعرض التكامل المنفصل اللازم لمنحنى قطبي مستوٍ مثل الحلزون ثنائي الأبعاد.
• خصائص اللولب في Autodesk: يعرّف نصف قطر اللولب وعدد لفاته وارتفاع اللفة بوصفه المسافة بين اللفات.
• نظرة Autodesk العامة إلى اللوالب: يميز بين الهندسة الأسطوانية والمخروطية والمستوية.
• وحدات الطول في النظام الدولي لدى NIST: يوثق وحدات الطول والعلاقة الدقيقة 1 in = 25.4 mm.