حاسبة زاوية التدرّج المخروطي

نصف الزاوية والزاوية المحصورة ونسبة التدرّج

يشكّل التدرّج الدائري المستقيم مخروطًا مبتورًا. وتحدّد ثلاثة قياسات هندسته المثالية:

• D هو القطر الكبير.
• d هو القطر الصغير.
• L هي المسافة المحورية بين مستويي قياس القطرين.

مقدار تغيّر القطر هو ΔD = D − d. ولأن هذا التغيّر موزّع على جانبي خط المحور، فإن التغيّر الشعاعي في جانب واحد هو Δr = ΔD ÷ 2. لذلك يُحسب نصف زاوية التدرّج كما يلي:

θ = arctan(ΔD ÷ (2L))

يُقاس نصف الزاوية θ بين خط المحور وأحد السطحين المائلين. أما الزاوية المحصورة α فتمتد من أحد السطحين المائلين إلى السطح المقابل:

α = 2θ

هذا الفرق مهم. فزاوية قدرها 3° لكل جانب تعني زاوية محصورة قدرها 6°. ولا تستخدم الرسومات والبرامج ومصطلحات الورش عبارة «زاوية التدرّج» غير المقيّدة بمعنى واحد دائمًا، لذلك تسمّي الحاسبة القيمتين وتعرضهما بوضوح بدل ترك القارئ يستنتج المقصود.

التدرّج القطري ليس الميل الشعاعي

تتبع هذه الحاسبة اصطلاح التدرّج القطري الشائع: يقارن المعدل تغيّر القطر كاملًا بالطول المحوري. فالتدرّج 1:20 يعني أن القطر يتغيّر وحدة واحدة خلال 20 وحدة من الطول المحوري، بينما لا يتغيّر نصف القطر في أي جانب منفرد إلا بنصف هذا المقدار.

على سبيل المثال، إذا انخفض القطر 5 mm خلال طول محوري قدره 100 mm:

• المعدل القطري: 5 ÷ 100 = 0.05 mm/mm
• نسبة التدرّج: 1:20
• المعدل المتري المكبّر: 50 mm/m
• التغيّر الشعاعي: 2.5 mm
• نصف الزاوية: arctan(2.5 ÷ 100) ≈ 1.432°
• الزاوية المحصورة: نحو 2.864°

لا تستبدل نسبة ميل جانب واحد بنسبة التدرّج القطري؛ فهذا يغيّر التدرّج المبلّغ عنه بمعامل اثنين.

الطول المحوري مقابل طول الميل

أدخل المسافة على امتداد خط المحور، لا المسافة المقاسة فوق السطح المائل. الطول المحوري L هو الضلع الأفقي للمثلث القائم المستخدم لحساب نصف الزاوية، أما طول الميل فهو الوتر وتعرضه الحاسبة ضمن النتائج.

لقطر كبير 40 mm وقطر صغير 20 mm وطول محوري 100 mm:

ΔD = 40 − 20 = 20 mm

يكون التدرّج القطري 20 ÷ 100 = 0.2، أي 1:5 و200 mm/m. والتغيّر الشعاعي 10 mm، لذلك يكون نصف الزاوية arctan(10 ÷ 100) ≈ 5.711°، والزاوية المحصورة نحو 11.421°. أما طول الميل فهو √(100² + 10²) ≈ 100.499 mm.

سيكون استخدام 100.499 mm كطول إدخال خطأً، لأنه مسافة السطح الناتجة عن الهندسة وليس الفصل المحوري بين موضعي قياس القطرين.

مثال بالنظام الإمبراطوري وثبات النتيجة مع الوحدات

لنفترض أن تدرّجًا خارجيًا يتغيّر من 2.000 in إلى 1.500 in خلال طول محوري 4.000 in:

• تغيّر القطر: 0.500 in
• المعدل القطري: 0.125 in/in
• التدرّج لكل قدم: 0.125 × 12 = 1.500 in/ft
• النسبة: 1:8
• نصف الزاوية: نحو 3.576°
• الزاوية المحصورة: نحو 7.153°
• طول الميل: نحو 4.008 in

لا تتغيّر الهندسة عند التعبير عن الجزء نفسه بوحدة أخرى. فتحويل الأبعاد إلى 50.8 mm و38.1 mm و101.6 mm يعطي النسبة 1:8 والزوايا نفسها. الذي يتغيّر فقط هو عرض القيم البُعدية وصيغة المعدل المكبّر.

تساوي القطرين يعني عدم وجود تدرّج

عندما يتساوى D وd يكون المقطع أسطوانيًا: ΔD = 0، ويكون المعدل القطري وكلتا الزاويتين صفرًا، ولا تنطبق نسبة تدرّج محدودة من الشكل 1:N. وهذه نتيجة صحيحة لعدم وجود تدرّج وليست خطأً في الإدخال. وفي هذه الحالة يساوي طول الميل الطول المحوري.

نطاق الاستخدام والحدود العملية

يصف الحساب تدرّجًا دائريًا مثاليًا مستقيمًا ومتحد المحور. وهو مفيد للتحقق من الهندسة في رسم، أو مقارنة تغيّر القطر المقاس بالطول، أو وصف شكل مخروطي داخلي أو خارجي. لكنه لا يراعي عدم الاستدارة أو اتساع الفوهة أو تحدّب السطح أو الانحراف أو تشطيب السطح أو التشوه المرن أو عدم يقين القياس أو التأثيرات الحرارية.

لا تستخدم النتيجة وحدها لتحديد تدرّج ماكينة من نوع Morse أو Jacobs أو أي معيار آخر؛ فالزاوية الاسمية وحدها لا تكفي لإثبات المقاس القياسي أو التوافق. كما أن الحاسبة لا تحسب القلاوظ المخروطي مثل NPT، ولا تختار إعدادات التشغيل أو إزاحة الغراب المتحرك، ولا تحدد موضع المنزلق المركب أو التفاوتات، ولا تقرر ما إذا كان جزآن سيتلاءمان ويثبتان كما ينبغي. في أعمال الإنتاج، ارجع إلى الرسم الحاكم والمعيار الحالي المطبق وبيانات المصنّع وطريقة فحص مناسبة.

المراجع: دليل NIMS للخراطة، المستوى الأول، الذي يميّز بين التدرّج لكل قدم والتدرّج لكل بوصة والزاوية المحصورة والزاوية مع خط المحور، ومرجع Autodesk لرموز التدرّج والميل، الذي يوثّق تمثيل النسب والنسب المئوية في الرسومات الهندسية. روجعت المصادر ونطاق الحساب في 16 يوليو 2026.