حاسبة التكامل الثلاثي

خطوة 1 / 4 التكامل الثلاثي

الدالة integrand f(x, y, z)

تقيس التكاملات الثلاثية كميات موزعة في منطقة ثلاثية الأبعاد: حجمًا، أو كتلة من دالة كثافة، أو أي قيمة متراكمة بالشكل ∭f(x,y,z) dV. تعطي هذه الحاسبة تقريبًا عدديًا بقاعدة نقطة المنتصف ضمن حدود مستطيلة رقمية لـ x وy وz، لذلك تناسب الفحوص السريعة والأمثلة الدراسية والمناطق ذات شكل الصندوق.

كيفية تقريب التكامل الثلاثي

1

أدخل f(x,y,z)

استخدم صيغة حسابية مثل x*y*z أو x^2+y^2+z^2 أو sin(x)*cos(y).
2

حدد حدودًا رقمية

املأ القيم الصغرى والعظمى لـ x وy وz. تحسب الأداة صندوقًا مستطيلًا في فضاء xyz.
3

اختر عدد الخطوات لكل محور

يضبط شريط التمرير n تقسيمات لكل محور، أي أن التقدير يستخدم n³ عينة عند نقاط المنتصف.
4

احسب تقدير نقطة المنتصف

تؤخذ قيمة الدالة في مركز كل صندوق صغير ثم تضرب في عنصر الحجم ΔxΔyΔz.
5

حسّن النتيجة وراجع منطقيتها

زد عدد الخطوات وقارن بمسائل بسيطة أو بنتيجة رمزية عندما تكون متاحة.

ما الذي تحسبه الأداة فعليًا

المدخل	كيف يُستخدم	ملاحظة عملية
`f(x,y,z)`	القيمة التي تؤخذ عند كل نقطة منتصف	الدوال الملساء تتقارب عادة بشكل أوضح من القمم الحادة أو الانقطاعات
`x min/max` و`y min/max` و`z min/max`	حدود مستطيلة رقمية	يمكن أن تكون الحدود سالبة؛ وعكس الحدين الأدنى والأقصى يغيّر إشارة ذلك المحور
عدد الخطوات لكل محور	عدد الشرائح على كل بعد	يزداد العمل بمعدل n³، لذلك تعني 60 خطوة 216,000 تقييم للدالة

هذه حاسبة عددية وليست محللًا رمزيًا. لا تستخرج الدوال الأصلية ولا تعيد اشتقاق حدود جديدة للإحداثيات الكروية أو الأسطوانية. إذا كانت منطقتك كرة أو مخروطًا أو جسمًا منحنيًا آخر، فأعد أولًا صياغة المسألة إلى حدود وتابع يمكن لطريقة نقطة المنتصف المستطيلة أخذ عينات منهما، أو استخدم مسارًا رمزيًا مخصصًا للتكاملات الثلاثية.

استخدامات شائعة

فحص الحجم: استخدم f(x,y,z) = 1 داخل صندوق لتأكيد حجمه.
تقدير الكتلة: أدخل دالة كثافة ρ(x,y,z) وكاملها ضمن حدود رقمية.
القيمة المتوسطة: اقسم تقدير التكامل على حجم الصندوق.
تحقق عددي: قارن إجابة يدوية أو مدرسية بتقدير حسابي سريع.

أنظمة الإحداثيات وعناصر الحجم

نظام الإحداثيات	عنصر الحجم المعتاد	ما يجب تذكره هنا
ديكارتي	dx dy dz	يطابق مباشرة حدود x وy وz في هذه الحاسبة
أسطواني	r dr dθ dz	مفيد للمناطق ذات التناظر المحوري، لكن عامل `r` يجب أن يكون جزءًا من التابع المحوّل
كروي	ρ² sin(φ) dρ dφ dθ	مفيد للكرات والقشور، لكنه يتطلب حدودًا محوّلة وعامل يعقوبي

تقبل الواجهة مجالات رقمية لـ x وy وz فقط. تبقى أفكار أنظمة الإحداثيات مفيدة لإعداد المسألة، لكن التعبير النهائي الذي تدخله يجب أن يطابق المتغيرات والحدود التي تأخذ منها الحاسبة العينات.

فحص عملي: مكعب الوحدة

للمكعب الوحدة وf(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0.125

هذا إدخال جيد للاختبار لأن الحدود مستطيلة والنتيجة المتوقعة بسيطة. إذا كانت النتيجة العددية بعيدة عن 0.125، فزد عدد الخطوات أو راجع صيغة التعبير.

نصائح للدقة

تتحسن قاعدة نقطة المنتصف عادة عند زيادة عدد الخطوات، لكنها تظل تقريبًا. أفضل النتائج تكون مع الدوال الملساء داخل صندوق مستطيل. الدوال المتقطعة، والنقاط الشاذة، والقمم الضيقة جدًا، أو المناطق التي ليست صندوقية فعلًا قد تعطي قيمًا مضللة ما لم تُصغ المسألة بعناية.

الأسئلة الشائعة

لأن الحاسبة تستخدم قاعدة نقطة المنتصف العددية. زيادة الخطوات تعني نقاط عينة أكثر، ولذلك ينبغي أن يستقر التقدير عادة نحو قيمة ثابتة للدوال الملساء.

لا. هذه الصفحة تقرّب التكاملات المحددة ضمن حدود رقمية. استخدم حاسبة تكامل رمزية عندما تحتاج إلى دوال أصلية أو خطوات جبرية.

ليس مباشرة. المدخلات هي مجالات مستطيلة لـ x وy وz. في الإعدادات الأسطوانية أو الكروية، يجب تضمين العامل اليعقوبي الصحيح والحدود المحوّلة في طريقة تدعم تلك المتغيرات.

لا. كل الحسابات تعمل داخل متصفحك.

حاسبة التكامل الثلاثي

كيفية تقريب التكامل الثلاثي

أدخل f(x,y,z)

حدد حدودًا رقمية

اختر عدد الخطوات لكل محور

احسب تقدير نقطة المنتصف

حسّن النتيجة وراجع منطقيتها

ما الذي تحسبه الأداة فعليًا

استخدامات شائعة

أنظمة الإحداثيات وعناصر الحجم

فحص عملي: مكعب الوحدة

نصائح للدقة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

حاسبة 401(k)

حاسبة مؤشر كتلة الجسم BMI

حاسبة الاحتياج اليومي من الطاقة

حاسبة توزيع شرائح الجدار الزخرفية

حاسبة ضريبة القيمة المضافة وضريبة المبيعات

حاسبة علم الأعداد