آلة حساب التكامل الثلاثي

ما هي الأنظمة الإحداثية الثلاثة؟

استخدام النظام الخاطئ يحوّل التكامل البسيط إلى كابوس حقيقي. فكرة التكامل على كرة نصف قطرها 1 في الإحداثيات الديكارتية تؤدي إلى حدود معقدة من نوع √(1 − x² − y²)؛ أما في الإحداثيات الكروية، فإن النتيجة تكون ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ، وهي حدود واضحة وقابلة للفصل.

المشكلات الشائعة

• الكتلة: ∭ρ(x,y,z) dV، حيث أن ρ هي الكثافة.
• • مركز الكتلة: ∭x ρ dV / الكتلة الكلية، وبطريقة مماثلة بالنسبة إلى المتغيرات y وz.
• • عزم القصور الذاتي: ∭r²ρdV حول محور محدد.
• الحجم: ∭1 ديفولت (dV)؛ حيث يكون الدالة المتكاملة مساوية لـ 1، وبالتالي يقتصر الحساب على حساب حجم المنطقة.

تغيير ترتيب عملية التكامل

في المنطقة التي لا يمكن التعبير عن الحد الداخلي بشكل واضح كدالة من المتغير الخارجي، غالبًا ما يساعد تبديل ترتيب المتغيرات في تحسين النتائج. رسم المنطقة على الخريطة المكونة من المستوى الداخلي والمستوى الخارجي المطلوب، ثم استنتج الحدود مرة أخرى.

مثال عملي: حجم كرة

في الإحداثيات الكروية، كرة الوحدة هي تلك التي تحقق شرط {x² + y² + z² ≤ 1}.

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

يختفي المعادلة الشهيرة V = (4/3)πr³ تدريجيًا عبر ثلاث خطوات واضحة؛ أما في الإحداثيات الديكارتية، فإن نفس التكامل يستغرق عدة صفحات.

خيار التخزين العددي الاحتياطي

بعض التكاملات لا تمتلك دالة عكسية ذات شكل مغلق. وعند فشل عملية التكامل الرمزي، يعود الحاسب إلى طريقة التكامل العددي، ويُعيد قيمة تقريبية مع تقدير للخطأ.