حاسبة الانحراف المعياري
قم بلصق قائمة من الأرقام، وستعيد الآلة الحاسبة قيم المتوسط والتباين والانحراف المعياري (للعينة s باستخدام المقام n−1 وللمجموعة السكانية σ باستخدام المقام n)، بالإضافة إلى معامل التباين ودرجات زي (z-scores) لكل قيمة. هذه الميزة مفيدة جدًا عند رغبتك في معرفة مدى تشتت البيانات حول متوسطها، وهي خطوة تشخيصية أساسية قبل إجراء أي اختبار بارامتري.
كيف تُحسب الانحراف المعياري؟
-
1
لصق أرقامك
مفصولة بفواصل أو رموز الفاصلة أو سطور جديدة؛ تُتجاهل العناصر غير الرقمية.
-
2
يتم حساب المتوسط للخط السيني (x-bar).
المجموع مقسومًا على العدد.
-
3
تُجمع الانحرافات المربعة.
مجموع (x − متوسط القيم)².
-
4
قسّم واقرأ الجذر
العينة: قسّم على (n−1)، ثم احسب الجذر التربيعي؛ السكان: قسّم على n، ثم احسب الجذر التربيعي.
عينة مقابل عينة السكان: متى يُستخدم أي منهما؟
| استخدام العينة السكانية (نسبة n) | استخدام العينة (نسبة n−1) |
|---|---|
| لديك العينة الكاملة للسكان؛ أو لديك عينة مأخوذة من عينة أكبر. | |
| إحصاء كامل للموظفين | تم أخذ عينات من 20 عميلًا من بين آلاف العملاء |
| جميع الكرات العشرة للنرد خلال جلسة معينة | قياسات من خط إنتاج |
يُنتج المُقسم n−1 (تصحيح بيسيل) مُقدّرًا غير متحيّز لانحراف المعيار السكاني من بيانات العينة؛ أما باستخدام المُقسم n، فيتم التقليل بشكل منهجي من قيمته الحقيقية للانحراف السكاني. مع زيادة حجم العينة (n)، يقل هذا الفرق تدريجيًا، لكنه يظل ذا أهمية عند أحجام العينات الصغيرة.
فهم مفهوم الانحراف المعياري
إذا كان لمجموعة قيمة متوسطها 100 وانحراف معياري قدره 15، فإن: (بافتراض توزيع تقريبي طبيعي):
- تقع نسبة 68٪ من القيم ضمن النطاق من 85 إلى 115 (بعد انحراف معياري واحد).
- 95% ضمن النطاق من 70 إلى 130 (2 انحراف معياري)
- 99.7٪ ضمن النطاق من 55 إلى 145 (3 انحرافات معيارية)
هذه هي قاعدة 68–95–99.7، والمعروفة أيضًا باسم القاعدة التجريبية؛ حيث تتبعها بدقة درجات الذكاء، وطول البشر، والعديد من المقاييس الطبيعية الأخرى.
معامل التباين
الانحراف المعياري (CV) هو نسبة الانحراف المعياري إلى المتوسط، وهو مقياس غير مرتبط بوحدة يُستخدم بشكل فعّال عند مقارنة درجات التباين بين مجموعات بيانات ذات متوسطات مختلفة. يعني انحراف معياري قدره 0.1 (أي 10%) أن الانحراف المعياري يعادل تقريبًا 10% من المتوسط؛ ومع ذلك، لا يكون هذا المقياس ذا دلالة إحصائية بالنسبة للبيانات التي قد تتجاوز القيمة الصفرية.
درجات Z
بالنسبة لكل قيمة x: z = (x − المتوسط) / الانحراف المعياري. هذه القيمة تُظهر عدد وحدات الانحراف المعياري التي تقع فوق أو تحت المتوسط بالنسبة إلى تلك القيمة. عادةً ما يُعتبر قيمة |z| > 2 حالة استثنائية؛ أما قيمة |z| > 3 فهي نادرة جدًا في البيانات الطبيعية.
الأخطاء الشائعة
- استخدام العينة السكانية في حين ينبغي استخدام عينة أدق، مما يؤدي إلى التقليل من تقدير درجة التباين في مجموعة البيانات المستخلصة من العينة.
- دمج المتوسط والانحراف المعياري من وحدات مختلفة؛ تأكد دائمًا من مقياس الوحدة المستخدمة.
- تطبيق قواعد التوزيع الطبيعي على البيانات غير الطبيعية: تُخلّ البيانات المائلة أو متعددة القمم بالاستنتاج التقريبي المعروف بـ 68–95–99.7؛ لذا يُنصح برسم مخطط توزيع أولًا.
- تجاهل القيم الشاذة: قد يؤدي قيمة متطرفة واحدة إلى زيادة معيار التباين (SD) ثلاث مرات. وتوجد بدائل قوية (مثل الانحراف المطلق للقيمة الوسيطية أو النطاق بين الرباعيات) مخصصة للبيانات ذات الذيل الثقيل.
الأسئلة الشائعة
يحتوي برنامج Excel على دالتين: STDEV (لعينة، باستخدام المقام n−1) وSTDEVP (للكتلة السكانية، باستخدام المقام n). تأكد من استخدام الدالة التي تتوافق مع افتراض العينة أو الكتلة السكانية الذي ترغب فيه.
نعم، يحتوي الانحراف المعياري على نفس الوحدات المستخدمة في قياساتك (السنتيمتر، الدولار، الثانية). أما التباين فيُقاس بوحدات مربعة، ولهذا السبب يكون الانحراف المعياري أسهل في القراءة.
يُعرَّف الانحراف المعياري للعينة عندما يكون عدد العينات (n) ≥ 2. ولأعداد أقل من حوالي 30، يُنصح بالإبلاغ عن فترات الثقة حول قيمة الانحراف المعياري أو استخدام طريقة بديلة أكثر متانة.
ما زال معامل التباين (SD) مُعرَّفًا؛ بالنسبة إلى النسبة p، يُحسب المعامل على النحو التالي: SD = √(p × (1 − p)). وفي العينة التي تحتوي على 60% من القيم 1، يكون قيمة معامل التباين هي √(0.6 × 0.4) ≈ 0.49، بغض النظر عن عدد الملاحظات.